Sifat - Sifat Notasi Sigma - Pernahkan kalian melihat deretan bilangan yang memiliki pola seperti berikut?

Sifat - Sifat Notasi Sigma

1. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12
2. 15 + 10 + 5 + 0 - 5 - 10 - 15
3. a + 3a2 + 9a3 + 27a4
4. -5 + 9 - 13 + 17 - 21

Tentunya kalian pernah melihat pola di atas dalam topik deret aritmetika dan deret geometri.

Nah, apakah kalian pernah berfikir untuk menuliskan deret tersebut hanya dengan sebuah simbol?

Deret bilangan pada contoh di atas dapat disederhanakan penulisannya dengan menggunakan notasi sigma (Σ). Sigma adalah salah satu huruf kapital Yunani, yang berarti jumlah.

Secara umum, jika U1, U2, U3, ... , Un adalah suku-suku sebuah deret bilangan, maka

Jika kita lihat, nilai i bermula dari 1 dan berakhir sampai nilai n. 
Nah, i = 1 selanjutnya disebut batas bawah dan i = n disebut batas atas, sedangkan Uimenyatakan rumus umum deret atau rumus suku ke-i.

Yuk kita coba nyatakan contoh deret bilangan di atas ke dalam notasi sigma.

① 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12

Pola dari deret di atas adalah sebagai berikut:

• 2 = 2 x 1
• 4 = 2 x 2
• 6 = 2 x 3
• 8 = 2 x 4
• 10 = 2 x 5
• 12 = 2 x 6

Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumus umum dari deret di atas 
adalah Ui = 2i. Selanjutnya, karena banyak suku adalah 6, maka 
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = ∑6i=1(2i)$\sum _{i=1}^6(2i)$.

② 15 + 10 + 5 + 0 - 5 - 10 - 15

Pola dari deret di atas adalah sebagai berikut:

• 15 = 20 - 5 = 20 - (5 x 1)
• 10 = 20 - 10 = 20 - (5 x 2)
• 5 = 20 - 15 = 20 - (5 x 3)
• 0 = 20 - 20 = 20 - (5 x 4)
• -5 = 20 - 25 = 20 - (5 x 5)
• -10 = 20 - 30 = 20 - (5 x 6)
• -15 = 20 - 35 = 20 - (5 x 7)

Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumus umum dari deret di atas 
adalah Uj = 20 - 5j. Selanjutnya, karena banyak suku adalah 7, maka 
15 + 10 + 5 + 0 - 5 - 10 - 15 = ∑7j=1(20−5j)$\sum _{j=1}^7(20-5j)$.

③ a + 3a2 + 9a3 + 27a4

Pola dari deret di atas adalah sebagai berikut:

• a = a x (3a)0
• 3a2 = a x (3a)1
• 9a3 = a x (3a)2
• 27a4 = a x (3a)3

Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumus umum dari deret di atas 
adalah Uk = a x (3a)(k - 1). Selanjutnya, karena banyak suku adalah 4, maka 
a + 3a2 + 9a3 + 27a4 = ∑4k=1(a(3a)(k−1))$\sum _{k=1}^4(a{\left(3a\right)}^{\left(k-1\right)})$.

④ -5 + 9 - 13 + 17 - 21

Pola dari deret di atas adalah sebagai berikut:

• -5 = (-1)1 x (4 x 1 + 1)
• 9 = (-1)2 x (4 x 2 + 1)
• -13 = (-1)3 x (4 x 3 + 1)
• 17 = (-1)4 x (4 x 4 + 1)
• -21 = (-1)5 x (4 x 5 + 1)

Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumus umum dari deret di atas 
adalah Un = (-1)n x (4 x n + 1). Selanjutnya, karena banyak suku adalah 5, maka 
-5 + 9 - 13 + 17 - 21 = ∑5n=1((−1)n(4n+1))$\sum _{n=1}^5({\left(-1\right)}^n\left(4n+1\right))$.

SIFAT-SIFAT NOTASI SIGMA

Apakah kalian sudah paham tentang bagaimana menuliskan deret dengan notasi sigma?

Selain untuk menyederhanakan bentuk penulisan deret, notasi sigma juga digunakan dalam perhitungan deret.

Nah, bagaimanakah sifat-sifat notasi sigma?
Yuk kita cermati beberapa sifat berikut.

Ketujuh sifat notasi sigma di atas akan lebih mudah untuk dipahami dalam bentuk contoh soal. Yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1: Hitunglah nilai dari ∑125j=8(4)$\sum _{j=8}^{125}(4)$.

Penyelesaian:

Oleh karena batas bawah dari notasi sigma pada soal adalah 8, maka kita perlu mengubah batas bawah dari notasi sigma tersebut menjadi 1. Nah, sifat notasi sigma yang akan kita gunakan adalah sifat no. 7.

Berdasarkan sifat tersebut,

∑125j=8(4)$\sum _{j=8}^{125}(4)$ = ∑125−7j=8−7(4)$\sum _{j=8-7}^{125-7}(4)$ = ∑118j=1(4)$\sum _{j=1}^{118}(4)$

Selanjutnya, jika kita gunakan sifat no. 2, maka ∑125j=8(4)$\sum _{j=8}^{125}(4)$ = 4(118) = 472.

Contoh 2: Jabarkan notasi sigma ∑4j=1(2j+1)$\sum _{j=1}^4(2j+1)$ dalam bentuk penjumlahan lengkap.

Penyelesaian:

Untuk menyatakan notasi sigma ke dalam penjumlahan lengkap, kita perlu mensubstitusikan nilai j mulai dari batas bawah sampai dengan batas atas ke dalam rumus umum deret.

Dengan demikian,

Contoh 3: 
Tulislah notasi sigma ∑14n=6(n+1n−5)$\sum _{n=6}^{14}(\frac{n+1}{n-5})$ dengan batas bawah 1 dan batas atas 12.

Penyelesaian:

Dalam mengubah batas bawah atau batas atas suatu notasi sigma, kita perlu menggunakan sifat no. 7.

Jika batas bawah diubah menjadi 1, maka

Jika batas atas diubah menjadi 12, maka

Selanjutnya, untuk menentukan jumlah suatu deret yang dinyatakan dalam notasi sigma, digunakan sifat-sifat berikut:

Contoh 4: 
Tentukan jumlah dari ∑10k=1(3k2−4k)$\sum _{k=1}^{10}(3k^2-4k)$.

Penyelesaian:

Nah, kalian telah belajar mengenai notasi sigma. Yuk kerjakan latihan soal yang ada.

Share this post