Pengertian Kombinasi

Pengertian Kombinasi - Pada pelajaran sebelumnya, kalian telah belajar mengenai permutasi, yang mana sangat memperhatikan urutan dalam penyusunannya. Akan tetapi, apakah kalian tahu bagaimana cara menyusun sejumlah obyek jika urutan tidak diperhatikan?

Pengertian Kombinasi

Dalam pelajaran ini, kalian akan belajar tentang bagaimana untuk :

• Memahami bahwa kombinasi adalah banyak cara memilih r obyek dari suatu himpunan n obyek dengan menggunakan rumus kombinasi : C(n,r) = P(n,r)/r! = n!/[(n – r)!r!]

Kombinasi didefinisikan sebagai banyak cara pemilihan beberapa obyek tanpa memperhatikan urutan dari pemilihan maupun penyusunan obyek-obyek tersebut. 

Kombinasi dilambangkan dengan C(n,r).

dengan  r < n

Adapun, lambang di atas menyatakan banyak kombinasi r obyek dari n obyek yang berbeda dan huruf C menyatakan kombinasi.

Berikut ini adalah hubungan antara kombinasi dan permutasi :

P(n,r) = r! C(n,r)

Berdasarkan rumus permutasi,

P(n,r) = n!(n−r)!sehinggaC(n,r) = n!(n−r)!r!$$\begin{array}{l}P(n,r)\text{ = }\frac{n!}{(n-r)!}\hfill \\ \hfill \\ sehingga\hfill \\ \hfill \\ C(n,r)\text{ = }\frac{n!}{(n-r)!r!}\hfill \end{array}$$

Contoh : Carilah banyak cara menyusun sebuah tim yang terdiri atas 4 anggota, dimana anggota-anggotanya dapat dipilih dari 7 orang yang ada!

Penyelesaian :

Misalkan tujuh orang yang dimaksud adalah A, B, C, D, E, F, dan G. Dalam kasus ini, tidak ada perbedaan jika kita memilih ABCD, DABC, maupun CABD, karena yang terpilih tetaplah sama, yaitu A, B, C, dan D. Dengan kata lain, kita hanya akan memilih 4 anggota tanpa memperhatikan bagaimana urutan pemilihannya.

Oleh karena itu, untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita akan menggunakan kombinasi dan bukan permutasi.

Dalam kasus ini, n = 7 dan r = 3.

Berdasarkan rumus kombinasi, maka diperoleh : 

C(n,r) = n!(n−r)!r!C(7,4) = 7!(7−4)!4!= 7!3!4! = 35$$\begin{array}{l}C(n,r)\text{ = }\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}\\ C(7,4)\text{ = }\frac{7!}{\left(7-4\right)!4!}\text{= }\frac{7!}{3!4!}\text{ = 35}\end{array}$$

Dengan demikian, ada 35 cara dalam memilih 4 anggota tim dari 7 orang yang ada.

Contoh 1 :

Kevin berencana untuk membuat sandwich es krim dengan bahan-bahan yang ada di dalam kulkas. Ternyata, di dalam kulkas terdapat 2 jenis cookies dan 8 jenis es krim. Berapa banyak varian sandwich es krim yang berbeda, yang dapat dibuat oleh Kevin?

Penjelasan :

Untuk memilih jenis cookies yang akan digunakan, maka Kevin harus memilih 1 dari 2 jenis cookies yang ada. 

C(n,r) = n!(n−r)!r!$$C(n,r)\text{ = }\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}$$

Dalam kasus ini,

r = 1 dan n = 2

C(2,1) = 2!(2−1)!1!= 2!1!1! = 2$$C(2,1)\text{ = }\frac{2!}{\left(2-1\right)!1!}\text{= }\frac{2!}{1!1!}\text{ = 2}$$

Untuk memilih jenis es krim yang akan digunakan, maka Kevin harus memilih 1 dari 8 jenis yang es krim yang ada.

Dalam kasus ini,

r = 1 dan n = 8

C(8,1) = 8!(8−1)!1!= 8!7!1! = 8$$C(8,1)\text{ = }\frac{8!}{\left(8-1\right)!1!}\text{= }\frac{8!}{7!1!}\text{ = 8}$$

Dengan demikian, banyak varian sandwich es krim yang dapat dibuat oleh Kevin adalah 

C(2,1) ×  C( 8,1) = 2 ×  8 = 16

Contoh 2 : 

Dalam berapa banyak carakah, sebuah komite yang terdiri atas 5 orang dapat dibentuk dari 8 orang kandidat?

Penjelasan :

Karena urutan pemilihan kandidat tidak diperhatikan, maka permasalahan di atas adalah permasalahan kombinasi dan bukan permutasi.

Dalam kasus ini, n = 8 dan r = 5.

Berdasarkan rumus kombinasi, maka diperoleh :

C(n,r) = n!(n−r)!r!C(8,5) = 8!(8−5)!5!= 8!3!5! = 56$$\begin{array}{l}C(n,r)\text{ = }\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}\\ C(8,5)\text{ = }\frac{8!}{\left(8-5\right)!5!}\text{= }\frac{8!}{3!5!}\text{ = 56}\end{array}$$

Dengan demikian, ada 56 cara untuk membentuk sebuah komite yang terdiri atas 5 orang dari 8 orang kandidat yang ada.

Share this post