Pengertian Permutasi

Pengertian Permutasi - Pada pelajaran sebelumnya, kalian telah mengenal permutasi sebagai banyak cara menyusun sebuah oyek dalam urutan tertentu, dimana urutan tersebut diperhatikan. Namun apakah kalian tahu bagaimana cara memilih r obyek dari sebuah himpunan dengan n obyek?

Pengetian Permutasi

Dalam pelajaran ini, kalian akan belajar tentang bagaimana :

• Memahami bahwa permutasi adalah banyaknya cara memilih r obyek dari sebuah himpunan yg terdiri atas n obyek dan menghitung probabilitas dengan menggunakan rumus permutasi : P(n,r) = n!/[(n –r)!].

Sebelum kalian belajar memilih r obyek dari sebuah himpunan yang terdiri atas n elemen, sangat penting jika kalian mengetahui jenis-jenis permutasi.

• Permutasi dengan pengulangan
• Permutasi tanpa pengulangan

Permutasi tanpa pengulangan biasa disingkat dengan permutasi. Adapun yang dimaksud dengan 'tanpa pengulangan‘ adalah : setiap obyek hanya dipilih sekali dan urutan dari obyek yang dipilih sangat diperhatikan.

Contoh : Berapa banyak susunan 2 huruf yang dapat dibentuk dari kata 'NUMBER’?

Penyelesaian : Perhatikan bahwa semua huruf dalam kata 'NUMBER' adalah berbeda (tidak ada huruf yang berulang). Perhatikan pula bahwa kita harus mencari jumlah kata yang terdiri atas 2 huruf dari huruf-huruf dalam kata 'NUMBER'.

Dengan kata lain, kita harus memilih 2 huruf dari suatu himpunan yang terdiri atas 6 huruf dan urutan diperhatikan. Dalam hal ini, n = 6 dan r = 2.

Rumus permutasi tanpa pengulangan adalah : 

P(n,r) = n!(n−r)!P(6,2) = 6!(6−2)!= 6!4! = 30$$\begin{array}{l}P(n,r)\text{ = }\frac{n!}{(n-r)!}\hfill \\ P(\mathrm{6,2})\text{ = }\frac{6!}{(6-2)!}\text{= }\frac{6!}{4!}\text{ = 30}\hfill \end{array}$$

Permutasi dengan pengulangan

Dalaam kasus permutasi dengan pengulangan, setiap obyek dapat dipiilih lebih dari satu kali, akan tetapi urutan tetap diperhatikan.

Contoh : Berapa banyak cara menyusun kata dari kata ‘HAPPINESS'?

Penyelesaian : Perhatikan bahwa dalam kata 'HAPPINESS' ada beberapa huruf yang berulang. Huruf P dan S berulang sebanyak dua kali.

Rumus permutasi dengan pengulangan adalah : 

P = n!n1!n2!n3!...r!$$P\text{ = }\frac{n!}{n1!n2!n3!\mathrm{...}r!}$$

n adalah banyak himpunan yang terdiri atas n1 obyek yang sama, n2 obyek yang sama, dst.. sampai r obyek yang sama.

Dalam contoh di atas,

n = 9, n1 = 2 , n2 = 2

P = 9!2!2!= 90720$$P\text{ = }\frac{9!}{2!2!}\text{= 90720}$$

Dengan demikian, kita dapat menyusun ulang kata 'HAPPINESS' dalam 90720 cara.

Contoh 1 : 

Carilah : P(10,2) dan P(14,3)!

Penjelasan :

Berdasarkan rumus permutasi, maka diperoleh :

P(n,r) = n!(n−r)!P102 = 10!(10−2)!= 10!8! = 10 × 9 × 8! 8! = 90P143 = 14!(14−3)!= 14!11! = 14 × 13 × 12 × 11! 11! = 2184$$\begin{array}{l}P(n,r)\text{ = }\frac{n!}{(n-r)!}\hfill \\ {}_{10}P{}_2\text{ = }\frac{10!}{(10-2)!}\text{= }\frac{10!}{8!}\text{ = }\frac{\text{10 }\times \text{ 9 }\times \text{ 8! }}{8!}\text{ = 90}\hfill \\ {}_{14}P{}_3\text{ = }\frac{14!}{}\hfill \end{array}$$$$\begin{array}{l}\frac{(14-3)!}{}\text{= }\frac{14!}{11!}\text{ = }\frac{\text{14 }\times \text{ 13 }\times \text{ 12 }\times \text{ 11! }}{11!}\text{ = 2184}\hfill \end{array}$$

Contoh 2 :

Sebuah restoran menawarkan 3 macam pilihan topping es krim. Dalam berapa banyak carakah ketiga toping tersebut dapat disusun?

Penjelasan :

Dalam hal ini, kita tidak lagi memilih r obyek dari n obyek, sebab r=n.

n = r = 3

Berdasarkan rumus permutasi, maka diperoleh :

P(n,r) = n!(n−r)!P(3,3) = 3!(3−3)!= 3!0! = 6$$\begin{array}{l}P(n,r)\text{ = }\frac{n!}{\left(n-r\right)!}\\ P(3,3)\text{ = }\frac{3!}{\left(3-3\right)!}\text{= }\frac{3!}{0!}\text{ = 6}\end{array}$$

Contoh 3 :

Berapa banyak susunan 4 huruf yang dapat dibentuk dari kata 'CONSIDER'?

Penjelasan :

Dalam hal ini, kita akan membentuk suatu kata yang terdiri atas 4 huruf, dimana huruf-huruf tersebut diambil dari kata 'CONSIDER'. Perhatikan bahwa dalam kata 'CONSIDER', tidak ada huruf yang berulang. Dengan demikian masalah ini merupakan permutasi tanpa pengulangan.

n = 8 and r = 4

Berdasarkan rumus permutasi, maka diperoleh :

P(n,r) = n!(n−r)!P(8,4) = 8!(8−4)!= 8!4! = 1680$$\begin{array}{l}P(n,r)\text{ = }\frac{n!}{\left(n-r\right)!}\\ P(8,4)\text{ = }\frac{8!}{\left(8-4\right)!}\text{= }\frac{8!}{4!}\text{ = 1680}\end{array}$$

Dengan demikian, banyak susunan 4 huruf yang dapat dibentuk dari kata 'CONSIDER' adalah 1680.

Share this post