Konsep Barisan pada Perhitungan Bunga Majemuk

Konsep Barisan pada Perhitungan Bunga Majemuk - Tentu kalian masih ingat dengan definisi bunga majemuk bukan?

Konsep Barisan pada Perhitungan Bunga Majemuk

Ya, dalam bunga majemuk (compoud interest), bunga pada periode sebelumnya ditambahkan ke dalam tabungan pada akhir periode, kemudian bunga tersebut ikut digunakan sebagai dasar untuk menentukan besarnya bunga pada periode berikutnya.

Seperti yang kalian ketahui, bunga majemuk dihitung berdasarkan saldo terakhir setelah pembungaan. Nah, jumlah bunga untuk setiap akhir periode pembungaan tentunya akan mengalami kenaikan, disertai dengan kenaikan modal awal atau pokok pinjaman.

Konsep Dasar

Sebagai ilustrasi mengenai konsep barisan pada perhitungan bunga majemuk, mari kita perhatikan ilustrasi berikut.

Jika kita menabung di Bank sebesar M$M$ dengan bunga majemuk sebesar i%$i\text{\%}$ per tahun, maka besar tabungan pada akhir tahun pertama, kedua, dan ketiga berturut-turut adalah sebagai berikut:

M1==M+MiM(1+i)$\begin{array}{lll}{M}_1& =& M+Mi\\ & =& M\left(1+i\right)\end{array}$

M2====M1+M1iM1(1+i)[M(1+i)](1+i)M(1+i)2$\begin{array}{lll}{M}_2& =& M_1+M_{1}i\\ & =& M_1\left(1+i\right)\\ & =& \left[M\left(1+i\right)\right]\left(1+i\right)\\ & =& M{\left(1+i\right)}^2\end{array}$

M3====M2+M2iM2(1+i)[M(1+i)2](1+i)M(1+i)3$\begin{array}{lll}{M}_3& =& M_2+M_{2}i\\ & =& M_2\left(1+i\right)\\ & =& \left[M{\left(1+i\right)}^2\right]\left(1+i\right)\\ & =& M{\left(1+i\right)}^3\end{array}$

Berasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa barisan besar tabungan dari tahun ke-0, akhir tahun ke-1, akhir tahun ke-2, akhir tahun ke-3, dan seterusnya adalah

M,M(1+i),M(1+i)2,M(1+i)3,...,M(1+i)t$M,M\left(1+i\right),M{\left(1+i\right)}^2,M{\left(1+i\right)}^3,...,M{\left(1+i\right)}^t$

Apa yang dapat kalian simpulkan dari barisan besar tabungan di atas?

Ya, barisan besar tabungan merupakan barisan geometri dengan rasio r=(1+i)$r=(1+i)$. Adapun besar tabungan pada akhir tahun ke-t$t$ adalah Mt=M(1+i)t$M_t=M(1+i{)}^t$.

Apakah kalian sudah paham mengenai konsep barisan geometri pada perhitungan bunga majemuk?

Yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut agar kalian semakin paham.

Contoh 1

Celia menginvestasikan uang sebanyak Rp50.000.000,00 dengan suku bunga majemuk 24% per tahun. Berapakah besar uang Celia jika ia hendak mengambilnya pada akhir tahun pertama, kedua, dan ketiga?

Penyelesaian:

Berdasarkan informasi dalam soal,

• besar investasi → M=50.000.000$M=\mathrm{50.000.000}$
• suku bunga → i=24%=0,24$i=24\text{\%}=0,24$ per tahun

Dengan demikian, besar investasi pada akhir tahun pertama, kedua, dan ketiga berturut-turut adalah sebagai berikut:

M1===50.000.000(1+0,24)150.000.000(1,24)62.000.000$\begin{array}{l}{\mathrm{<br>}}_{}\end{array}$

$\begin{array}{lll}{M}_1& =& \mathrm{50.000.000}{\left(1+0,24\right)}^1\\ & =& \mathrm{50.000.000}\left(1,24\right)\\ & =& \mathrm{62.000.000}\end{array}$

M2===50.000.000(1+0,24)250.000.000(1,24)276.880.000$\begin{array}{l}{\mathrm{<br>}}_{}\end{array}$

$\begin{array}{lll}{M}_2& =& \mathrm{50.000.000}{\left(1+0,24\right)}^2\\ & =& \mathrm{50.000.000}{\left(1,24\right)}^2\\ & =& \mathrm{76.880.000}\end{array}$

M3===50.000.000(1+0,24)350.000.000(1,24)395.331.200$\begin{array}{l}{\mathrm{<br>}}_{}\end{array}$

$\begin{array}{lll}{M}_3& =& \mathrm{50.000.000}{\left(1+0,24\right)}^3\\ & =& \mathrm{50.000.000}{\left(1,24\right)}^3\\ & =& \mathrm{95.331.200}\end{array}$

Jadi, besar uang Celia jika ia hendak mengambilnya pada akhir tahun pertama, kedua, dan ketiga berturut-turut adalah Rp62.000.000,00, Rp76,880,000,00, dan Rp95,331,200,00.

Contoh 2

Otong menginvestasikan uang sebanyak Rp50.000.000,00 dengan suku bunga majemuk 2% per bulan. Berapa lama waktu yang dibutuhkan hingga investasi Otong menjadi Rp150.000.000,00?

Penyelesaian:

Berdasarkan informasi dalam soal,

• besar investasi → M=50.000.000$M=\mathrm{50.000.000}$
• suku bunga → i=2%=0,02$i=2\text{\%}=0,02$ per bulan
• investasi setelah t$t$ bulan → Mt=150.000.000$M_t=\mathrm{150.000.000}$

Dengan demikian,

Mt⇔150.000.000⇔(1+0,02)t⇔tlog(1+0,02)⇔t⇔t⇔t=======M(1+i)t50.000.000(1+0,02)t3log(3)log(3)log(1,02)0,47712125470,008600171855,48$\begin{array}{l}{\mathrm{<br>}}_{}\end{array}$

$\begin{array}{lll}{M}_t& =& M{\left(1+i\right)}^t\\ \iff \mathrm{150.000.000}& =& \mathrm{50.000.000}{\left(1+0,02\right)}^t\\ \iff {\left(1+0,02\right)}^t& =& 3\\ \iff \end{array}$

$\begin{array}{lll}t\log \left(1+0,02\right)& =& \log \left(3\right)\\ \iff t& =& \frac{\log \left(3\right)}{\log \left(1,02\right)}\\ \iff t& =& \frac{0,4771212547}{0,0086001718}\\ \iff t& =& 55,48\end{array}$

Jadi, Otong perlu menunggu selama 55,48 bulan hingga investasinya menjadi Rp150.000.000,00.

Contoh 3

Kyle mendepositokan uang sebanyak Rp50.000.000,00 dengan suku bunga majemuk. Jika pada akhir bulan ke-36 besar deposito Kyle adalah Rp130.000.000,00, maka berapakah suku bunga deposito tersebut?

Penyelesaian:

Berdasarkan informasi dalam soal,

• deposito awal → M=50.000.000$M=\mathrm{50.000.000}$
• suku bunga → i%$i\text{\%}$ per bulan
• lama deposito → t=36$t=36$ bulan
• deposito akhir → Mt=130.000.000$M_t=\mathrm{130.000.000}$

Dengan demikian,

Mt⇔130.000.000⇔(1+i)36⇔(1+i)⇔1+i⇔i⇔i=======M(1+i)t50.000.000(1+i)36135(135)1361,0268970,0268972,69%$\begin{array}{l}{\mathrm{<br>}}_{}\end{array}$

$\begin{array}{lll}{M}_t& =& M{\left(1+i\right)}^t\\ \iff \mathrm{130.000.000}& =& \mathrm{50.000.000}{\left(1+i\right)}^{36}\\ \iff {\left(1+i\right)}^{36}& =& \frac{13}{5}\\ \iff \left(1+i\right)\end{array}$

$\begin{array}{ll}=& {\left(\frac{13}{5}\right)}^{\frac{1}{36}}\\ \iff 1+i& =& 1,026897\\ \iff i& =& 0,026897\\ \iff i& =& 2,69\mathrm{\%}\end{array}$

Jadi, suku bunga deposito yang diberikan adalah 2,69% per bulan.

Untuk mengukur pemahaman kalian, yuk kerjakan sepuluh latihan soal yang ada dalam topik ini.

Share this post