Sistem Persamaan Linear dengan Metode Cramer

Sistem Persamaan Linear dengan Metode Cramer - Bagaimana kabar kalian? Mudah-mudahan masih dalam kondisi prima.

Dalam topik sebelumnya, kalian sudah belajar tentang bagaimana menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi, metode substitusi, gabungan eliminasi dan substitusi, serta dengan menggunakan grafik. Nah, dalam topik ini kalian akan belajar tentang metode Cramer.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel berikut ini:
{ax+by=pcx+dy=q $\{\begin{array}{c}ax+by=p\\ cx+dy=q\end{array}$.

Jika sistem persamaan linear di atas kita selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

Nah, jika kita eliminasi variabel y, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:

Apa yang dapat kalian simpulkan dari pembahasan di atas?

Ya, berdasarkan pembahasan di atas, dapat kita simpulkan bahwa nilai x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut:

• x=∣∣∣∣pqbd ∣∣∣∣∣∣∣∣acbd ∣∣∣∣$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}p& b\\ q& d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}$
• y=∣∣∣∣acpq ∣∣∣∣∣∣∣∣acbd ∣∣∣∣$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}a& p\\ c& q\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}$

Nah, rumus di atas selanjutnya disebut dengan metode determinan atau metode Cramer.

Metode Cramer

Metode Cramer (Cramer’s Rule) merupakan salah satu metode penyelesaian dari permasalahan sistem persamaan linear yang merupakan karya terbesar dari Gabriel Cramer. Gabriel Cramer adalah seorang matematikawan Swiss. Ia lahir di Jenewa pada tanggal 31 Juli 1704 dan meninggal pada tanggal 4 Januari 1752 di Perancis. Orangtuanya adalah Jean Isaac Cramer (seorang fisikawan Swiss) dan Anne Mallet.

Mari kita perhatikan kembali bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel berikut ini: {ax+by=pcx+dy=q $\{\begin{array}{c}ax+by=p\\ cx+dy=q\end{array}$.

Jika sistem persamaan linear tersebut dinyatakan dalam bentuk matriks, maka akan diperoleh persamaan matriks sebagai berikut:

(acbd )(xy )=(pq )$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$ atau AX = B.

Metode Cramer untuk menyelesaikan persamaan matriks di atas adalah sebagai berikut:

• x=∣∣∣∣pqbd ∣∣∣∣∣∣∣∣acbd ∣∣∣∣=DxD$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}p& b\\ q& d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{D_x}{D}$
• y=∣∣∣∣acpq ∣∣∣∣∣∣∣∣acbd ∣∣∣∣=DyD$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}a& p\\ c& q\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{D_y}{D}$

dengan catatan bahwa

• D = ad - bc adalah determinan matriks koefisien persamaan linear.
• Dx = pd - qb adalah determinan matriks koefisien persamaan linear yang kolom pertamanya diganti dengan matriks B.
• Dy = aq - cp adalah determinan matriks koefisien persamaan linear yang kolom keduanya diganti dengan matriks B.

Nah, agar kalian lebih jelas, mari kita perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1:

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut ini:

Penyelesaian:

Jika sistem persamaan linear di atas kita nyatakan dalam bentuk persamaan matriks, maka diperoleh hasil sebagai berikut: (2153 )(xy )=(31 )$\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$.

Dengan demikian,

• D=∣∣∣2153 ∣∣∣=2×3−1×5=6−5=1$D=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right|=2\times 3-1\times 5=6-5=1$
• Dx=∣∣∣3153 ∣∣∣=3×3−1×5=9−5=4$D_x=\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 3\end{array}\right|=3\times 3-1\times 5=9-5=4$
• Dy=∣∣∣2131 ∣∣∣=2×1−1×3=2−3=−1$D_y=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right|=2\times 1-1\times 3=2-3=-1$
• x=DxD=41=4$x=\frac{D_x}{D}=\frac{4}{1}=4$
• y=DyD=−11=−1$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-1}{1}=-1$

Jadi, nilai x dan y berturut-turut adalah 4 dan -1.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Metode Cramer juga dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel.

Mari kita perhatikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut: 

⎧⎩⎨⎪⎪ax+by+cz=pdx+ey+fz=qgx+hy+iz=r $\{\begin{array}{c}ax+by+cz=p\\ dx+ey+fz=q\\ gx+hy+iz=r\end{array}$.

Jika kita nyatakan sistem persamaan linear di atas ke dalam persamaan matriks, maka diperoleh hasil sebagai berikut:

⎛⎝⎜⎜adgbehcfi ⎞⎠⎟⎟⎛⎝⎜⎜xyz ⎞⎠⎟⎟=⎛⎝⎜⎜pqr ⎞⎠⎟⎟$\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right)$.

Nah, berdasarkan metode Cramer, diperoleh penyelesaian sebagai berikut:

• x=∣∣∣∣∣∣pqrbehcfi ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣adgbehcfi ∣∣∣∣∣∣=DxD$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}p& b& c\\ q& e& f\\ r& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}=\frac{D_x}{D}$
• y=∣∣∣∣∣∣adgpehcfi ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣adgbehcfi ∣∣∣∣∣∣=DyD$y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& p& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}=\frac{D_y}{D}$
• z=∣∣∣∣∣∣adgbehpqr ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣adgbehcfi ∣∣∣∣∣∣=DzD$z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& b& p\\ d& e& q\\ g& h& r\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}=\frac{D_z}{D}$

Apakah kalian sudah paham dengan materi di atas?

Mari kita perhatikan beberapa contoh berikut ini untuk menambah pemahaman kalian.

Contoh 2:

Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi sistem persamaan berikut: ⎧⎩⎨⎪⎪2x−y+z=7x+2y−z=−6x+3y+z=−2 $\{\begin{array}{c}2x-y+z=7\\ x+2y-z=-6\\ x+3y+z=-2\end{array}$.

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menyatakan sistem persamaan linear di atas ke dalam bentuk persamaan matriks seperti berikut: ⎛⎝⎜⎜211−1231−11 ⎞⎠⎟⎟⎛⎝⎜⎜xyz ⎞⎠⎟⎟=⎛⎝⎜⎜7−6−2 ⎞⎠⎟⎟$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -2\end{array}\right)$.

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai D, Dx, Dy, dan Dz.

• 
  ∣∣∣∣∣211−1231−11 ∣∣∣∣∣=13$D=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1& 3& 1\end{array}\right|=13$
• Dx=∣∣∣∣∣7−6−2−1231−11 ∣∣∣∣∣=13$D_x=\left|\begin{array}{ccc}7& -1& 1\\ -6& 2& -1\\ -2& 3& 1\end{array}\right|=13$
• Dy=∣∣∣∣∣2117−6−21−11 ∣∣∣∣∣=−26$D_y=\left|\begin{array}{ccc}2& 7& 1\\ 1& -6& -1\\ 1& -2& 1\end{array}\right|=-26$
• Dz=∣∣∣∣∣211−1237−6−2 ∣∣∣∣∣=39$D_z=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 7\\ 1& 2& -6\\ 1& 3& -2\end{array}\right|=39$

Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z sesuai dengan metode Cramer.

• x=DxD=1313=1$x=\frac{D_x}{D}=\frac{13}{13}=1$
• y=DyD=−2613=−2$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-26}{13}=-2$
• z=DzD=3913=3

Tag : contoh soal dan pembahasan aturan cramer,aturan cramer matriks 4x4,cara cramer 3 variabel,metode cramer 3 variabel,spltv metode cramer,metode cramer ordo 4x4,metode cramer 4x4,metode cramer pdf,

Share this post