Penyelesaian Masalah Sehari-Hari dengan Metode Matriks

Penyelesaian Masalah Sehari-Hari dengan Metode Matriks - Kita sadari atau tidak, sebenarnya banyak permasalahan sehari-hari yang dapat kita selesaikan dengan menggunakan matriks.

Penyelesaian Masalah Sehari-Hari dengan Metode Matriks

Tahukah kalian bagaimana menyelesaikan permasalahan tersebut?

Ya, tentu saja kalian perlu memodelkan permasalahan tersebut ke dalam sistem persamaan terlebih dahulu, kemudian membawanya ke dalam persamaan matriks. Nah, selanjutnya kalian dapat menggunakan metode invers matriks untuk menentukan penyelesaiannya.

Dalam topik kali ini kalian akan belajar tentang bagaimana menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan metode invers matriks berordo 3 x 3.

Determinan Matriks Berordo 3 x 3

Seperti yang telah kalian ketahui, salah satu cara menentukan determinan matriks berordo 3 x 3 adalah dengan menggunakan kaidah Sarrus.

Jika matriks A=⎛⎝⎜⎜adgbehcfi ⎞⎠⎟⎟$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$, maka determinan matriks A adalah

det(A)==∣∣∣∣∣adgbehcfi ∣∣∣∣∣adgbeh (aei+bfg+cdh)−(gec+hfa+idb)  
$\begin{array}{lll}det\left(A\right)& =& \left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|\begin{array}{ll}a& b\\ d& e\\ g& h\end{array}\\ & =\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(aei+bfg+cdh\right)-\left(gec+hfa+idb\right)\end{array}$.

Invers Matriks Berordo 3 x 3

Apakah kalian masih ingat dengan rumus invers matriks A berordo 3 x 3?

Benar, A−1=1det(A)×Adj(A)$A^{-1}=\frac{1}{det\left(A\right)}\times Adj(A)$.

Nah, untuk menentukan adjoint dari matriks A, kalian perlu menentukan kofaktor dari matriks A, sebab adjoint adalah transpos dari kofaktor.

Coba tebak, bagaimana cara menentukan kofaktor dari matriks? A

Untuk menentukan kofaktor dari matriks A, kita gunakan rumus Kij=(−1)i+jMij$K_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$.

Seperti yang kalian ketahui, Mij$M_{ij}$ adalah minor dari elemen pada baris ke-i kolom ke-j.

Perlu kalian ingat, Mij$M_{ij}$ merupakan determinan dari submatriks yang diperoleh setelah menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.

Metode Invers Matriks

Bentuk persamaan matriks dari sistem persamaan linear: ⎧⎩⎨⎪⎪a11x+a12y+a12z=b1a21x+a22y+a23z=b2a31x+a32y+a33z=b3$\{\begin{array}{l}{a}_{11}x+a_{12}y+a_{12}z=b_1\\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2\\ a_{31}x+a_{32}y\end{array}$

$\begin{array}{l}+a_{33}z=b_3\end{array}$adalah ⎛⎝⎜⎜a11a21a31a12a22a32a12a23a33⎞⎠⎟⎟$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$ ⎛⎝⎜⎜xyz ⎞⎠⎟⎟ $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ =⎛⎝⎜⎜b1b2b3 ⎞⎠⎟⎟ $=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)$.

Selanjutnya karena AX=B⇔X=A−1B $AX=B\iff X=A^{-1}B$

, maka untuk menentukan nilai x, y, dan z dari persamaan matriks di atas, kalian perlu menentukan invers dari matriks A=⎛⎝⎜⎜a11a21a31a12a22a32a12a23a33⎞⎠⎟⎟$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$.

Agar kalian lebih jelas, mari kita perhatikan contoh soal berikut.

Contoh

Suatu perusahaan rumahan meminjam Rp2.250.000.000,00 dari tiga bank berbeda untuk memperluas jangkauan bisnisnya. Suku bunga dari ketiga bank tersebut adalah 5%, 6% dan 7%. Tentukan berapa pinjaman perusahaan tersebut terhadap masing-masing bank jika bunga tahunan yang harus dibayar perusahaan tersebut adalah Rp130.000.000,00 dan banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga 5% sama dengan dua kali uang yang dipinjam dengan bunga 7%.

Penyelesaian:

Misalkan x, y, dan z berturut-turut adalah banya uang yang dipinjam dengan bunga 5%, 6% dan 7%

Permasalahan dalam soal dapat kita nyatakan dalam sistem persamaan berikut:

⎧⎩⎨⎪⎪x+y+z=2.2505%x+6%y+7%z=13.000x=2z ⇔⎧⎩⎨⎪⎪x+y+z=2.2505x+6y+7z=13.000x−2z=0  $<br>$

$\{\begin{array}{ll}& x+y+z=2.250\\ & 5\text{\%}x+6\text{\%}y+7\text{\%}z=13.000\\ & x=2z\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x+y+z=2.250\\ & 5x+6y+7z=13.000\\ & x-2z=0\end{array}$

(dalam jutaan rupiah)

Adapun bentuk persamaan matriks dari sistem persamaan di atas adalah sebagai berikut:

⎛⎝⎜⎜15116017−2 ⎞⎠⎟⎟⎛⎝⎜⎜xyz ⎞⎠⎟⎟⎛⎝⎜⎜2.25013.0000 ⎞⎠⎟⎟$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 5& 6& 7\\ 1& 0& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2.250\\ 13.000\\ 0\end{array}\right)$ ... (*)

Jika kita misalkan A=⎛⎝⎜⎜15116017−2 ⎞⎠⎟⎟$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 5& 6& 7\\ 1& 0& -2\end{array}\right)$, maka

• det(A)=∣∣∣∣∣15116017−2 ∣∣∣∣∣=−1 $det\left(A\right)=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 5& 6& 7\\ 1& 0& -2\end{array}\right|=-1$
• K11=∣∣67 0−2 ∣∣=−12−0=−12 $K_{11}=\left|\begin{array}{ccc}6& 70& -2\end{array}\right|=-12-0=-12$
• K12=−∣∣∣517−2 ∣∣∣=−(−10−7)=17 $K_{12}=-\left|\begin{array}{cc}5& 7\\ 1& -2\end{array}\right|=-(-10-7)=17$
• K13=∣∣∣5160 ∣∣∣=0−6=−6 $K_{13}=\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 1& 0\end{array}\right|=0-6=-6$
• K21=−∣∣∣101−2 ∣∣∣=−(−2−0)=2 $K_{21}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -2\end{array}\right|=-(-2-0)=2$
• K22=∣∣∣111−2 ∣∣∣=−2−1=−3 $K_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right|=-2-1=-3$
• K23=−∣∣∣1110 ∣∣∣=−(0−1)=1 $K_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-(0-1)=1$
• K31=∣∣∣1617 ∣∣∣=7−6=1 $K_{31}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 6& 7\end{array}\right|=7-6=1$
• K32=−∣∣∣1517 ∣∣∣=−(7−5)=−2 $K_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 5& 7\end{array}\right|=-(7-5)=-2$
• K33=∣∣∣1516 ∣∣∣=6−5=1 $K_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 5& 6\end{array}\right|=6-5=1$
• K=⎛⎝⎜⎜−122117−3−2−611 ⎞⎠⎟⎟ $K=\left(\begin{array}{lll}-12& 17& -6\\ 2& -3& 1\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$
• Adj(A)=⎛⎝⎜⎜−1217−62−311−21 ⎞⎠⎟⎟ $Adj\left(A\right)=\left(\begin{array}{lll}-12& 2& 1\\ 17& -3& -2\\ -6& 1& 1\end{array}\right)$

Dengan demikian,

A−1=1det(A)Adj(A) $A^{-1}=\frac{1}{det\left(A\right)}Adj\left(A\right)$ =1−1⎛⎝⎜⎜−1217−62−311−21 ⎞⎠⎟⎟ $=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{ccc}-12& 2& 1\\ 17& -3& -2\\ -6& 1& 1\end{array}\right)$

Selanjutnya jika kita gunakan konsep invers matriks: AX=B⇔X=A−1B $AX=B\iff X=A^{-1}B$, maka penyelesaian dari persamaan matriks (*) adalah sebagai berikut:

⎛⎝⎜⎜xyz ⎞⎠⎟⎟==1−1⎛⎝⎜⎜−1217−62−311−21 ⎞⎠⎟⎟⎛⎝⎜⎜2.25013.0000 ⎞⎠⎟⎟⎛⎝⎜⎜1.00013.0000 ⎞⎠⎟⎟  $\begin{array}{lll}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& =& \frac{1}{-1}\left(\begin{array}{ccc}-12& 2& 1\\ 17& -3& -2\\ -6& 1& 1\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}2.250\\ 13.000\\ 0\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}1.000\\ 13.000\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, perusahaan meminjam 1 miliar rupiah pada bunga 5%, 750 juta rupiah pada bunga 6%, dan 500 juta rupiah pada bunga 7%.

Uji pemahaman kalian dengan mengerjakan sepuluh latihan soal dalam topik ini.

Share this post