Pengertian dan Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Determinan Matriks Ordo 2 x 2 - Pada materi sebelumnya, kita sudah membahas mengenai pengertian matriks dan operasi-operasi pada matriks. Kali ini, kita akan membahas tentang determinan matriks. Untuk setiap matriks persegi, terdapat suatu bilangan real yang berhubungan dengan matriks tersebut. Bilangan real ini disebut determinan. 

Determinan adalah selisih hasil perkalian antara unsur-unsur pada diagonal utama dan diagonal sekunder pada matriks persegi. Determinan dari suatu matriks persegi A dinotasikan dengan det A atau |A|. Determinan merupakan langkah awal kita untuk lanjut ke topik berikutnya, yaitu invers matriks. Pada topik ini kita akan membahas mengenai determinan pada matriks persegi berordo 2. Untuk determinan dari matriks persegi berordo 3 akan kita bahas pada topik selanjutnya.

       Mari kita mulai dengan sebuah contoh. Kita akan mengandaikan matriks seperti sebuah rak buku yang memiliki ruang sebagai tempat untuk meletakkan buku-buku.

Misalkan diketahui matriks persegi A berukuran 2×2$2\times 2$, A=(2531)$\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 1\end{array}\right)$. Kita andaikan matriks A ini sebagai sebuah rak buku seperti gambar berikut.

Determinan dari matriks yang dimisalkan sebagai rak buku di atas, dapat ditentukan dengan mengalikan jumlah buku pada rak baris pertama kolom pertama dengan jumlah buku pada rak baris kedua kolom kedua (diagonal utama). Kemudian hasilnya dikurangkan dengan hasil perkalian antara jumlah buku pada rak baris pertama kolom kedua dengan jumlah buku pada rak baris kedua kolom pertama (diagonal sekunder). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

                                                detA=(2×1)−(3×5)=2−15=−13$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{A}& =(2\times 1)-(3\times 5)\\ & =2-15\\ & =-13\end{array}$

Mudah bukan? Dari contoh di atas, dapat kita tuliskan definisi dari determinan matriks persegi berordo 2 sebagai berikut.

Untuk mempermudah dalam penghitungan determinan, berikut ini diberikan beberapa sifat dari determinan yang berlaku pada matriks persegi berordo 2. Misalkan terdapat matriks persegi A, B, dan C yang berordo 2, maka berlaku:

❶     ∣∣AT∣∣=|A|$\left|{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right|=\left|\mathrm{A}\right|$

❷     |kA|=k2|A|$\left|k\mathrm{A}\right|=k^2\left|\mathrm{A}\right|$

❸     AB=C⇒|A||B|=|C|$\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{C}\Rightarrow \left|\mathrm{A}\right|\left|\mathrm{B}\right|=\left|\mathrm{C}\right|$

Agar kalian lebih memahami cara menentukan determinan dari matriks persegi berordo 2, perhatikanlah contoh-contoh soal berikut ini.

❋ Contoh Soal❋

❑ Contoh Soal 1

Tentukan determinan matriks berikut.

A=(51−46)$\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ 1& 6\end{array}\right)$

✍ Penyelesaian

Diketahui A=(51−46)$\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ 1& 6\end{array}\right)$.

detA=(5)(6)−(−4)(1)=30−(−4)=34$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{A}& =(5)(6)-(-4)(1)\\ & =30-(-4)\\ & =34\end{array}$

Jadi, determinan matriks A adalah 34.

❑ Contoh Soal 2

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ∣∣∣1−x323−x∣∣∣=2$\left|\begin{array}{cc}1-x& 2\\ 3& 3-x\end{array}\right|=2$.

✍ Penyelesaian

∣∣∣1−x323−x∣∣∣(1−x)(3−x)−(2)(3)3−x−3x+x2−6x2−4x−3x2−4x−5(x−5)(x+1)x=5=2=2=2=2=0=0ataux=−1$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}1-x& 2\\ 3& 3-x\end{array}\right|& =2\\ (1-x)(3-x)-(2)\end{array}$

$\begin{array}{rl}(3)& =2\\ 3-x-3x+x^2-6& =2\\ x^2-4x-3& =2\\ x^2-4x-5& =0\\ (x-5)(x+1)& =0\\ x=5& \mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{u}x=-1\end{array}$

Jadi, diperoleh nilai x=5$x=5$ atau x=−1$x=-1$.

Nah, sekarang tentu kalian telah memahami apa itu determinan dan bagaimana menentukan determinan dari matriks persegi berordo 2 bukan? Selanjutnya, asahlah kemampuan kalian dengan mengerjakan latihan soal berikut ini.

Share this post