Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel - Pada topik-topik sebelumnya, kalian telah belajar mengenai konsep-konsep dasar tentang matriks. Nah, pada topik ini kalian akan belajar tentang penerapan matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel.

Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Nah, metode penyelesaian yang akan kita gunakan nantinya adalah metode invers matriks.

Dengan demikian, kalian perlu mengingat kembali materi tentang determinan matriks berordo 3 x 3, minor, kofaktor, dan adjoint.

Yuk kita ingat kembali materi tersebut dalam uraian singkat berikut.

Determinan

Ingatkah kalian tentang bagaimana menentukan determinan matriks berordo 3 x 3 dengan menggunakan kaidah Sarrus?

Jika matriks A=⎛⎝⎜⎜a11a21a31a12a22a32a13a23a33 ⎞⎠⎟⎟ $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$, maka determinan matriks A adalah

det(A)==∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33 ∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)−(a31a22a13+a32a23a11+a33a21a12)  
$\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{lll}det\left(A\right)& =& \left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\\ & =\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}\right)-\left(a_{31}{a}_{22}{a}_{13}+a_{32}{a}_{23}{a}_{11}+a_{33}{a}_{21}{a}_{12}\right)\end{array}$.

Contoh 1:

Determinan dari matriks A=⎛⎝⎜⎜245121413 ⎞⎠⎟⎟ $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 4& 2& 1\\ 5& 1& 3\end{array}\right)$ adalah

det(A)====∣∣∣∣∣245121413 ∣∣∣∣∣245121 (2)(2)(3)+(1)(1)(5)+(4)(4)(1)−
(5)(2)(4)−(1)(1)(2)−(3)(4)(1)12+5+16−40−2−12−21 


 
$\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{lll}det\left(A\right)& =& \left|\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 4& 2& 1\\ 5& 1& 3\end{array}\right|\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 2\\ 5& 1\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{lll}& =& \left(2\right)\left(2\right)\left(3\right)+\left(1\right)\left(1\right)\left(5\right)+\left(4\right)\left(4\right)\left(1\right)-\left(5\right)\left(2\right)\left(4\right)-\left(1\right)\left(1\right)\left(2\right)-\left(3\right)\left(4\right)\left(1\right)\\ & =& 12+5+16-40-2-12\\ & =& -21\end{array}$

Adjoint

Nah, apakah kalian masih ingat tentang hubungan antara kofaktor dan adjoint?

Ya, adjoint adalah transpos dari kofaktor.

Dengan demikian, sebelum menentukan adjoint, kalian harus menentukan minor.

Pada topik sebelumnya, telah kita pelajari bahwa hubungan antara minor dan kofaktor adalah sebagai berikut: K=⎛⎝⎜⎜M11−M21M31−M12M22−M32M13−M23M33 ⎞⎠⎟⎟$K=\left(\begin{array}{ccc}{M}_{11}& -M_{12}& M_{13}\\ -M_{21}& M_{22}& -M_{23}\\ M_{31}& -M_{32}& M_{33}\end{array}\right)$.

Invers Matriks

Coba tebak, bagaimanakah rumus untuk menentukan invers dari matriks A?

Ya, untuk menentukan invers dari matriks A, kita gunakan rumus: A−1=1det(A)adj(A) $A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\text{adj}\left(A\right)$.

Ingat, determinan matriks A tidak boleh bernilai nol.

Contoh

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut: ⎧⎩⎨⎪⎪x−2y+z2x+y−zx+3y+2z===−297  $\{\begin{array}{lll}x-2y+z& =& -2\\ 2x+y-z& =& 9\\ x+3y+2z& =& 7\end{array}$

Penyelesaian:

Persamaan matriks yang sesuai dengan sistem persamaan linear dalam soal adalah ⎛⎝⎜⎜121−2131−12 ⎞⎠⎟⎟⎛⎝⎜⎜xyz ⎞⎠⎟⎟=⎛⎝⎜⎜−297 ⎞⎠⎟⎟ $\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 7\end{array}\right)$.

Jika kita misalkan A=⎛⎝⎜⎜121−2131−12 ⎞⎠⎟⎟ $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$, maka

• det(A)=20$det(A)=20$
• K=⎛⎝⎜⎜571−5135−55 ⎞⎠⎟⎟ $K=\left(\begin{array}{ccc}5& -5& 5\\ 7& 1& -5\\ 1& 3& 5\end{array}\right)$
• Adj(A)=KT $Adj(A)=K^T$ =⎛⎝⎜⎜5−5571−5135 ⎞⎠⎟⎟ $=\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 1\\ -5& 1& 3\\ 5& -5& 5\end{array}\right)$
• A−1=1det(A)Adj(A) $A^{-1}=\frac{1}{det\left(A\right)}Adj\left(A\right)$ =120⎛⎝⎜⎜5−5571−5135 ⎞⎠⎟⎟ $=\frac{1}{20}\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 1\\ -5& 1& 3\\ 5& -5& 5\end{array}\right)$

Selanjutnya, jika kita gunakan konsep invers matriks: AX=B⇔X=A−1B $AX=B\iff X=A^{-1}B$, maka kita peroleh penyelesaian sebagai berikut:

⎛⎝⎜⎜xyz ⎞⎠⎟⎟===120⎛⎝⎜⎜5−5571−5135 ⎞⎠⎟⎟⎛⎝⎜⎜−297 ⎞⎠⎟⎟120⎛⎝⎜⎜6040−20 ⎞⎠⎟⎟⎛⎝⎜⎜32−1 ⎞⎠⎟⎟  $\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{lll}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& =& \frac{1}{20}\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 1\\ -5& 1& 3\\ 5& -5& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 7\end{array}\right)\\ & =& \frac{1}{20}\left(\begin{array}{c}60\\ 40\\ -20\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan dalam soal adalah x = 3, y = 2, dan z = -1.

Untuk menguji pemahaman kalian, yuk kerjakan sepuluh latihan soal dalam topik ini.

Share this post