Hubungan Matriks, Determinan Matriks, dan Invers Matriks

Hubungan Matriks, Determinan Matriks, dan Invers Matriks - Pada topik sebelumnya kalian telah belajar tentang bagaimana menghitung determinan matriks berordo 1 x 1 maupun 2 x 2. Selain itu kalian juga telah belajar tentang bagaimana menentukan invers suatu matriks berordo 2 x 2 maupun 3 x 3.

Hubungan Matriks, Determinan Matriks, dan Invers Matriks

Apakah diantara kalian ada yang telah lupa?

Baiklah kita ulangi secara singkat materi tentang determinan dan invers suatu matriks untuk memudahkan kalian dalam mempelajari materi ini.

Determinan Matriks

Apabila diberikan matriks berordo 2 x 2: A=(acbd ) $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, maka determinan dari matriks A tersebut adalah det(A)=|A|=ad−bc $det\left(A\right)=\left|A\right|=ad-bc$.

Contoh 1:

Tentukan determinan matriks A=(2431 ) $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 1\end{array}\right)$ .

Penyelesaian:

Pada soal di atas, a = 2, b = 3, c = 4, dan d = 1.

Dengan demikian, det(A)=ad−bc=(2)(1)−(3)(4)=−10 $det\left(A\right)=ad-bc=(2)(1)-(3)(4)=-10$

Nah, bagaimanakah cara menentukan determinan suatu matriks berordo 3 x 3?

Ya, determinan suatu matriks berordo 3 x 3 dapat ditentukan dengan menggunakan konsep kofaktor maupun kaidah Sarrus.

Contoh 2:

Diketahui matriks A=⎛⎝⎜⎜84−1302−11−2 ⎞⎠⎟⎟$A=\left(\begin{array}{ccc}8& 3& -1\\ 4& 0& 1\\ -1& 2& -2\end{array}\right)$. Tentukan determinan matriks A dengan menggunakan kaidah Sarrus.

Penyelesaian:

Menentukan determinan matriks A dengan menggunakan kaidah Sarrus adalah sebagai berikut:

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa determinan matriks A adalah –4.

Invers Matriks

Misal diberikan matriks persegi A dan B. Matriks A dan B dikatakan saling invers apabila AB = I, dengan I adalah matriks identitas.

Nah, tahukan kalian bagaimana cara menentukan invers dari suatu matriks?

Ya, invers suatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan metode Gauss-Jordan atau dengan menggunakan rumus: A−1=1det(A)×adj(A) $A^{-1}=\frac{1}{det\left(A\right)}\times adj\left(A\right)$, dengan adj(A) adalah adjoint dari matriks A.

Invers Matriks Berordo 2 x 2

Jika matriks A=(acbd ) $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, maka A−1 $A^{-1}$ =1det(A)×adj(A)=1ad−bc(d−c−ba ) $=\frac{1}{det\left(A\right)}\times adj\left(A\right)=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

Contoh 3:

Tentukan invers dari matriks A=(2−13−2 ) $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$.

Penyelesaian:

Berdasarkan rumus invers matriks, kita peroleh hasil sebagai berikut:

A−1 $A^{-1}$
=1det(A)×adj(A) $=\frac{1}{det\left(A\right)}\times adj\left(A\right)$
=1(2)(−2)−(3)(−1)(−21−32 ) $=\frac{1}{(2)(-2)-(3)(-1)}\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 1& 2\end{array}\right)$
=1−1(−21−32 ) $=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 1& 2\end{array}\right)$
=(2−13−2 ) $=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$

Invers Matriks Berordo 3 x 3

Dalam menentukan invers matriks A berordo 3 x 3, kalian juga dapat menggunakan rumus: A−1=1det(A)×adj(A) $A^{-1}=\frac{1}{det\left(A\right)}\times adj\left(A\right)$. Nah, untuk menentukan nilai determinan matriks A, kalian dapat menggunakan kofaktor maupun kaidah Sarrus.

Hubungan Matriks, Determinan Matriks, dan Invers Matriks

Mari kita cari tahu hubungan antara matriks, determinan matriks, dan invers matriks melalui contoh berikut.

Contoh 4:

Diketahui A=(3−1−22 ) $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 2\end{array}\right)$ dan B=(34−22 ) $B=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& 2\end{array}\right)$. 
Tentukan hubungan antara determinan matriks A dan B dengan determinan invers matriksnya.

Penyelesaian:

Sebelum menentukan hubungan antara determinan matriks A dengan determinan invers matriksnya, kita perlu menentukan terlebih dahulu nilai dari determinan matriks A, invers matriks A, dan determinan invers matriks A.

A=(3−1−22 )⇒det(A)=6−2=4 $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 2\end{array}\right)\Rightarrow det\left(A\right)=6-2=4$

A−1 $A^{-1}$ =1det(A)×adj(A)=14(2123)=(24142434 ) $=\frac{1}{det\left(A\right)}\times adj\left(A\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{4}& \frac{2}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{3}{4}\end{array}\right)$

det(A−1)=(24)(34)−(24)(14)=416=14 $det\left(A^{-1}\right)=\left(\frac{2}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)-\left(\frac{2}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$

Berdasarkan uraian di atas, det(A−1)=1det(A) $det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{det\left(A\right)}$.

Nah, sekarang mari kita analisa hubungan antara determinan matriks B dengan determinan invers matriksnya.

B−1 $B^{-1}$ =1det(B)×adj(B)=114×(22 −43 )=(214214 −414314 ) $<br>$

$=\frac{1}{det\left(B\right)}\times adj\left(B\right)=\frac{1}{14}\times \left(\begin{array}{ccc}2& 2-4& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{14}& \frac{2}{14}\frac{-4}{14}& \frac{3}{14}\end{array}\right)$

det(B−1)=(214)(314)−(214)(−414)=14196=114 $det\left(B^{-1}\right)$

$=\left(\frac{2}{14}\right)\left(\frac{3}{14}\right)-\left(\frac{2}{14}\right)\left(\frac{-4}{14}\right)=\frac{14}{196}=\frac{1}{14}$

Berdasarkan uraian di atas, ternyata det(B−1)=1det(B) $det\left(B^{-1}\right)=\frac{1}{det\left(B\right)}$.

Apa yang dapat kalian simpulkan dari contoh 4 di atas?

Ya, tentu saja bahwa determinan sebuah matriks tak nol akan sama dengan determinan invers matriksnya. Dengan kata lain, jika det (A) ≠ 0, maka det(A−1)=1det(A)$det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{det\left(A\right)}$.

Nah, apa hubungan antara determinan matriks AA-1 dan -1A?

Mari kita temukan jawabannya dengan mencermati uraian di bawah ini.

Telah kalian ketahui bahwa det (AB) = det (A) x det (B) dan AA-1 = A-1A = I, dengan Iadalah matriks identitas.

Dengan demikian,

det(AA−1)=det(A)×det(A−1)$det\left(A{A}^{-1}\right)=det\left(A\right)\times det\left(A^{-1}\right)$

⇔det(I)=det(A)×1det(A)$\iff det\left(I\right)=det\left(A\right)\times \frac{1}{det\left(A\right)}$

⇔det(I)=1$\iff det\left(I\right)=1$

⇔det(AA−1)=1$\iff det\left(A{A}^{-1}\right)=1$

Ayo uji pemahaman kalian dengan mengerjakan sepuluh latihan soal dalam topik ini.

Share this post