Invers Matriks 3 x 3

Invers Matriks 3 x 3 - Halo, apa kabar? Masih semangat belajar matematika bukan?

Invers Matriks 3 x 3

Pada topik sebelumnya kalian telah belajar tentang invers matriks berordo 2 x 2. Nah, pada topik kali ini kita akan belajar tentang invers matriks berordo 3 x 3.

Invers matriks A berordo 3 x 3 dapat ditentukan dengan menggunakan rumus: A−1=1|A|×Adj(A)$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\times Adj\left(A\right)$, dimana Adj (A) adalah adjoint dari matriks A.

Rumus di atas mengisyaratkan bahwa matriks A akan memiliki invers jika dan hanya jika determinannya tidak bernilai nol.

Apakah kalian tahu sebabnya?

Ya, sebab jika determinan matriks A adalah nol, maka hasil bagi antara Adj (A) dan determinan A menjadi tidak terdefinisi.

Perlu kalian ketahui, untuk menentukan invers suatu matriks yang berordo 3 x 3, kalian perlu menentukan terlebih dahulu nilai dari determinan, minor, kofaktor, dan adjoint dari matriks tersebut.

Keempat hal tersebut telah kalian pelajari pada topik-topik sebelumnya.

Masih ingatkah kalian?

Oke, mari kita ulas kembali materi tentang determinan, minor, kofaktor, dan adjoint.

Determinan

Seperti yang telah kalian pelajari sebelumnya, determinan matriks berordo 3 x 3 dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah Sarrus.

Contoh 1:

Diberikan matriks A=⎛⎝⎜⎜201110021 ⎞⎠⎟⎟$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$.

Berdasarkan kaidah Sarrus, determinan matriks A adalah

Minor

Apabila elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A berordo 3 x 3 dihilangkan, maka akan diperoleh suatu matriks berordo 2 x 2. Nah, determinan dari matriks berordo 2 x 2 itulah yang selanjutnya disebut dengan minor dari elemen baris ke-i dan kolom ke-j, ditulis dengan simbol Mij.

Contoh 2:

Berdasarkan contoh 1, minor dari setiap elemen pada matriks A adalah sebagai berikut:

M11=∣∣∣1021 ∣∣∣=1$M_{11}=\left|\begin{array}{ll}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1$

M12=∣∣∣0121 ∣∣∣=−2$M_{12}=\left|\begin{array}{ll}0& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-2$

M13=∣∣∣0110 ∣∣∣=−1$M_{13}=\left|\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1$

M21=∣∣∣1001 ∣∣∣=1$M_{21}=\left|\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1$

M22=∣∣∣2101 ∣∣∣=2$M_{22}=\left|\begin{array}{ll}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=2$

M23=∣∣∣2110 ∣∣∣=−1$M_{23}=\left|\begin{array}{ll}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1$

M31=∣∣∣1102 ∣∣∣=2$M_{31}=\left|\begin{array}{ll}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right|=2$

M32=∣∣∣2002 ∣∣∣=4$M_{32}=\left|\begin{array}{ll}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right|=4$

M33=∣∣∣2011 ∣∣∣=2$M_{33}=\left|\begin{array}{ll}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right|=2$

Dengan demikian, minor dari matriks A adalah M=⎛⎝⎜⎜112−224−1−12 ⎞⎠⎟⎟$M=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ 1& 2& -1\\ 2& 4& 2\end{array}\right)$.

Kofaktor

Kofaktor dari elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks disimbolkan denganKij dan ditentukan dengan menggunakan rumus: Kij=(−1)i+jMij$K_{ij}={\left(-1\right)}^{i+j}{M}_{ij}$.

Contoh 3:

Berdasarkan contoh 1 dan 2, kofaktor dari elemen-elemen pada matriks A adalah sebagai berikut:

K11=(−1)1+1M11=1×(1)=1$K_{11}={\left(-1\right)}^{1+1}{M}_{11}=1\times \left(1\right)=1$

K12=(−1)1+2M12=−1×(−2)=2$K_{12}={\left(-1\right)}^{1+2}{M}_{12}=-1\times \left(-2\right)=2$

K13=(−1)1+3M13=1×(−1)=−1$K_{13}={\left(-1\right)}^{1+3}{M}_{13}=1\times \left(-1\right)=-1$

K21=(−1)2+1M21=−1×(1)=−1$K_{21}={\left(-1\right)}^{2+1}{M}_{21}=-1\times \left(1\right)=-1$

K22=(−1)2+2M11=1×(2)=2$K_{22}={\left(-1\right)}^{2+2}{M}_{11}=1\times \left(2\right)=2$

K23=(−1)2+3M11=−1×(−1)=1$K_{23}={\left(-1\right)}^{2+3}{M}_{11}=-1\times \left(-1\right)=1$

K31=(−1)3+1M31=1×(2)=2$K_{31}={\left(-1\right)}^{3+1}{M}_{31}=1\times \left(2\right)=2$

K32=(−1)3+2M32=−1×(4)=−4$K_{32}={\left(-1\right)}^{3+2}{M}_{32}=-1\times \left(4\right)=-4$

K33=(−1)3+3M33=1×(2)=2$K_{33}={\left(-1\right)}^{3+3}{M}_{33}=1\times \left(2\right)=2$

Dengan demikian, kofaktor dari matriks A adalah K=⎛⎝⎜⎜1−1222−4−112 ⎞⎠⎟⎟$K=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ -1& 2& 1\\ 2& -4& 2\end{array}\right)$.

Adjoint

Adjoint suatu matriks adalah transpos dari matriks kofaktornya.

Contoh 4:

Berdasarkan contoh 1 dan 3, adjoint dari matriks A adalah

Adj(A)=KT$Adj\left(A\right)=K^T$ =⎛⎝⎜⎜12−1−1212−42 ⎞⎠⎟⎟$=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& 2& -4\\ -1& 1& 2\end{array}\right)$

Invers Matriks

Nah, karena nilai determinan dan adjoint dari matriks A sudah diketahui, maka invers dari matriks A adalah sebagai berikut:

A−1$A^{-1}$ =1 |A|×Adj(A)$=\frac{1}{\left|A\right|}\times Adj\left(A\right)$ =14⎛⎝⎜⎜12−1−1212−42 ⎞⎠⎟⎟$=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& 2& -4\\ -1& 1& 2\end{array}\right)$ ⎛⎝⎜⎜⎜1412−14−14121412−112 ⎞⎠⎟⎟⎟$\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -1\\ -\frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

Tentunya sekarang kalian sudah paham mengenai bagaimana menentukan invers dari suatu matriks bukan?

Ayo kerjakan latihan soal dalam topik ini.

Share this post