Menghitung Nilai Akhir dengan Bunga Majemuk

Menghitung Nilai Akhir dengan Bunga Majemuk - Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang bagaimana cara menentukan nilai akhir dengan bunga tunggal. Nah, pada topik ini, kalian akan belajar tentang bagaimana cara menentukan nilai akhir dengan bunga majemuk.

Menghitung Nilai Akhir dengan Bunga Majemuk

Konsep Dasar

Apakah kalian masih ingat dengan definisi bunga majemuk?

Ya, bunga majemuk adalah bunga dari suatu investasi/pinjaman dimana cara pembayarannya dilakukan pada setiap akhir periode tertentu dan besar bunga ditambahkan (digabung) dengan modal awal sehingga menjadi modal baru. Selanjutnya perhitungan bunga pada periode berikutnya dihitung dari modal yang baru tersebut. Adapun pada periode-periode selanjutnya, bunga dihitung secara analog.

Perlu kalian ketahui, bunga majemuk adalah bunga berbunga.

Pada bunga majemuk, cara penggabungan bunga dapat dilakukan secara bulanan, triwulanan, kuartalan, semesteran, ataupun tahunan.

Beberapa istilah yang terkait dengan masalah bunga majemuk antara lain adalah frekuensi penggabungan, periode bunga, dan banyaknya periode bunga.

Frekuensi penggabungan adalah banyaknya penggabunggan bunga dengan modal dalam waktu satu tahun. Nah, periode bunga adalah lamanya waktu antara dua penggabungan terhadap modal yang berurutan.

Ada tiga hal yang perlu kalian perhatikan terkait bunga majemuk, yaitu:

• modal/pinjaman awal → M$M$
• persentase bunga tiap periode bunga → p$p$
• banyaknya periode bunga → n$n$

Jika dimisalkan suatu modal sebesar M$M$ diinvestasikan dengan suku bunga majemuk sebesar p%$p\text{\%}$ per periode waktu, maka besar modal setelah n$n$ periode adalah dapat dihitung dengan cara berikut:

Modal setelah satu periode:

• M+p100M=M(1+p100)$M+\frac{p}{100}M=M\left(1+\frac{p}{100}\right)$

Modal setelah dua periode:

M(1+p100)+p100M(1+p100)$M\left(1+\frac{p}{100}\right)+\frac{p}{100}M\left(1+\frac{p}{100}\right)$
=M(1+p100)(1+p100)$=M\left(1+\frac{p}{100}\right)\left(1+\frac{p}{100}\right)$
=M(1+p100)2$=M{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2$

Modal setelah tiga periode:

M(1+p100)2+p100M(1+p100)2$M{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2+\frac{p}{100}M{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2$
=M(1+p100)2(1+p100)$=M{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2\left(1+\frac{p}{100}\right)$
=M(1+p100)3$=M{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^3$

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa besar modal setelah n$n$ periode adalah Mn=M(1+p100)n$M_n=M{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$.

Selanjutnya jika kita misalkan b=p100$b=\frac{p}{100}$, maka besar modal setelah n$n$ periode adalah Mn=M(1+b)n$M_n=M{\left(1+b\right)}^n$.

Nah, tahukah kalian bagaimana cara menentukan banyak periode?

Ya, dengan menerapkan konsep logaritma pada rumus Mn$M_n$ di atas, banyak periode dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus:

n=log(MnM)log(1+b)$n=\frac{\text{log}\left(\frac{M_n}{M}\right)}{\text{log}\left(1+b\right)}$

Apakah kalian sudah paham dengan konsep di atas?

Agar kalian semakin paham, mari kita cermati beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1:

Modal sebesar M$M$ diinvestasikan selama 3 tahun dengan bunga majemuk 15% per tahun. Adapun penggabungan bunganya dilakukan per kuartal.

Tentukan:

1. periode bunga
2. frekuensi penggabungan
3. besar suku bunga untuk setiap periode
4. banyaknya periode bunga

Penyelesaian:

1. Oleh karena 1 kuartal adalah 3 bulan, maka periode bunga adalah per 3 bulan.
2. Frekuensi penggabungan = 123=4$\frac{12}{3}=4$.
3. Besar bunga untuk setiap periode adalah b=15%4=3,75%$b=\frac{15\text{\%}}{4}=3,75\text{\%}$.
4. Banyaknya periode bunga = 3×4=12$3\times 4=12$.

Contoh 2:

Tentukan besarnya simpanan jika modal yang ditabungkan sebesar Rp1.000.000,00 dengan suku bunga majemuk 10% per tahun selama 10 tahun.

Penyelesaian:

Berdasarkan informasi dalam soal,

• modal → M=1.000.000$M=\mathrm{1.000.000}$
• bunga → b=10%=0,1$b=10\text{\%}=0,1$ per tahun
• jangka waktu → n=10$n=10$ tahun

Dengan demikian,

Mn=M(1+b)n$M_n=M(1+b{)}^n$

M10=1.000.000(1+0,1)10=1.000.000(1,1)10




=2.593.742,46${M_1}_0$

$=\mathrm{1.000.000}(1+0,1{)}^{10}=\mathrm{1.000.000}(1,1{)}^{10}=\mathrm{2.593.742},46$

Jadi, besar simpanan setelah 10 tahun adalah Rp2.593.742,46.

Contoh 3:

Pak Amir memiliki uang sebesar Rp5.000.000,00. Uang tersebut ia tabung di Bank dengan suku bunga majemuk 15% per tahun. Tentukan berapa lama uang pak Amir harus disimpan agar menjadi Rp8.000.000,00.

Penyelesaian:

Berdasarkan informasi dalam soal,

• tabungan awal → M=5.000.000$M=\mathrm{5.000.000}$
• bunga → b=15%=0,15$b=15\text{\%}=0,15$ per tahun
• jangka waktu → n$n$ tahun
• tabungan akhir → Mn=8.000.000$M_n=\mathrm{8.000.000}$

Dengan demikian,

n==
==log(MnM)log(1+b)log(8.000.0005.000.000)log(1+0,15)log(1,6)log(1,15)3,36 $\begin{array}{lll}n& =& \frac{\log \left(\frac{M_n}{M}\right)}{\log \left(1+b\right)}\\ & =& \frac{\log \left(\frac{\mathrm{8.000.000}}{\mathrm{5.000.000}}\right)}{\log }\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{\left(1+0,15\right)}{}\\ & =& \frac{\log \left(1,6\right)}{\log \left(1,15\right)}\\ & =& 3,36\end{array}$

Jadi, pak Amir harus menyimpan uangnya di Bank selama 3,36 tahun.

Mari uji pemahaman kalian dengan mengerjakan sepuluh latihan soal dalam topik ini.

Share this post