Permutasi Dari n Obyek

Permutasi Dari n Obyek - Pada pelajaran sebelumnya, kalian telah belajar tentang bagaimana cara menghitung nilai faktorial dari suatu bilangan dan telah mengetahui bahwa faktorial sering digunakan dalam permutasi. Akan tetapi, apakah kalian tahu bagaimana cara menerapkan konsep faktorial pada sebuah permutasi dan apa itu permutasi?

Permutasi Dari n Obyek

Dalam pelajaran ini, kalian akan belajar untuk :

• Memahami bahwa permutasi adalah cara penyusunan kembali elemen-elemen dari daftar permintaan dengan memperhatikan urutan.

• Menghitung probabilitas dengan menggunakan rumus permutasi : P(n,r) = n ⋅ (n – 1) ⋅ …  ⋅ (n – (r – 1)) = n!/(n – r)!.

Permutasi didefinisikan sebagai banyak cara penyusunan sebuah obyek dalam urutan tertentu, dimana urutan tersebut diperhatikan. 

Permutasi dilambangkan dengan P(n,r). Adapun lambang P(n,r) menyatakan permutasi r obyek dari n obyek.

Sebagai contoh, jika kita mempunyai tas sebanyak 'r' dengan daya tampung 1 buah barang dan jumlah barang yang ada adalah 'n', diimana n>r, maka kita perlu mengatur cara penyusunan 'r' buah tas agar dapat diisi dengan pilihan barang yang ada, dimana setiap1 barang hanya dapat dimasukkan ke dalam 1 buah tas.

Tas pertama dapat diisi dengan n pilihan barang, tas kedua hanya dapat diisi dengan (n-1) pilihan barang yang tersisa, dst.. dimana tas ke-r dapat diisi dengan (n – (r – 1)) pilihan barang yang tersisa. Dengan demikian, banyak cara penyusunan tersebut adalah :

n ⋅ (n – 1) ⋅ …  ⋅ (n – (r – 1))

Dengan demikian,

P(n,r) = n ⋅ (n – 1) ⋅ …  ⋅ (n – (r – 1))

Selanjutnya, dengan mengalikan dan membagi pembilang dan penyebut dengan (n – r). . . 3.2.1 maka diperoleh :

P(n,r) = {n · (n−1) ·....· (n−(r−1))}· (n−r) ..... 3·2·1(n−r)· ..... 3·2·1P(n,r) = n!(n−r)!$$\begin{array}{l}P(n,r)\text{ = }\frac{\{n·\text{ (}n-\text{1) }·\mathrm{....}·\text{ (}n-(r-1)\text{)}}·\text{ (}n-r)\mathrm{.....}\text{ 3}·\text{2}·\text{1}}{\text{(}n-r)·\mathrm{.....}\text{ 3}·\text{2}·\text{1}}\\ P(n,r)\text{ = }\frac{n!}{\left(n-r\right)!}\end{array}$$

Jadi, dapat disimpulkan bahwa permutasi n obyek dari n obyek adalah :

P(n,n) = n!

Contoh 1: 

Sebuah restoran menawarkan 3 macam pilihan topping es krim. Dalam berapa banyak carakah ketiga toping tersebut dapat disusun?

Penjelasan :

Tiga topping yang berbeda dapat disusun dalama 3!=6 cara.

Misalkan Topping 1 adalah A

Misalkan Topping 2 adalah B

Misalkan Topping 3 adalah C

Banyak cara penyusunan yang mungkin adalah sebagai berikut :

ABC        ACB        BAC

BCA        CAB        CBA

Dengan demikian, ada 6 cara penyusunan topping es krim yang mungkin terjadi.

Contoh 2 :

Kevin berencana untuk membuat sandwich es krim dengan bahan-bahan yang ada di dalam kulkas. Ternyata, di dalam kulkas terdapat 2 jenis cookies dan 8 jenis es krim. Berapa banyak varian sandwich es krim yang dapat dibuat oleh Kevin jika setiap bahan hanya dapat digunakan sekali?

Penjelasan :

Karena Kevin hanya boleh menggunakan satu jenis cookies, maka ia harus memilih 1 dari 2 jenis cookies yang ada. 

Karena Kevin hanya boleh menggunakan satu jenis es krim, maka ia harus memilih 1 dari 8 jenis es krim yang ada. 

P(n,r) = n!(n−r)!$$P(n,r)\text{ = }\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Dalam hal ini,

r = 1 dan n = 2

r = 1 dan n = 8

P(2,1) = 2!(2−1)!= 2!1! = 2P(8,1) = 8!(8−1)!= 8!7! = 8$$\begin{array}{l}P(\mathrm{2,1})\text{ = }\frac{2!}{(2-1)!}\text{= }\frac{2!}{1!}\text{ = 2}\\ P(\mathrm{8,1})\text{ = }\frac{8!}{(8-1)!}\text{= }\frac{8!}{7!}\text{ = 8}\end{array}$$

Dengan demikian, banyak varian sandwich es krim yang dapat dibuat oleh Kevin jika setiap bahan hanya boleh digunakan sekali adalah : 

P(2,1) ×  P(8,1) = 2 × 8 = 16

Share this post