Sistem Persamaan Linear dengan Metode Gaus-Jordan

Sistem Persamaan Linear dengan Metode Gaus-Jordan - Masih ingatkah kalian tentang bentuk umum sistem persamaan linear?

Ya, bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut: {ax+bycx+dy==pq $\{\begin{array}{lll}ax+by& =& p\\ cx+dy& =& q\end{array}$.

sedangkan bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel adalah

⎧⎩⎨⎪⎪ax+by+czdx+ey+fzgx+hy+iz===pqr $\{\begin{array}{lll}ax+by+cz& =& p\\ dx+ey+fz& =& q\\ gx+hy+iz& =& r\end{array}$.

Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar bagaimana menyelesaiakan kedua sistem persamaan linear tersebut dengan metode substitusi, metode eliminasi, gabungan antara metode eliminasi dan subtitusi, metode invers matriks, dan metode determinan matriks (metode Cramer).

Nah, pada topik kali ini, kalian akan belajar menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode Gaus-Jordan.

###Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bagaimanakah cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode Gauss-Jordan?

Mari kita ikuti empat langkah berikut:

Langkah I

Nyatakan sistem persamaan linear: {ax+bycx+dy==pq $\{\begin{array}{lll}ax+by& =& p\\ cx+dy& =& q\end{array}$ dalam bentuk persamaan matriks: (acbd )(xy )=(pq )$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$.

Selanjutnya bentuklah matriks seperti berikut: (acbd ∣∣∣pq  ) $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}& |\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\end{array}\right)$.

Langkah II

Misalkan Ri adalah elemen matriks pada baris ke-i, dengan i = 1, 2.

1. Bagilah semua elemen pada baris pertama dengan a.
2. Buatlah elemen c bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(ca)R1+R2$-\left(\frac{c}{a}\right)R_1+R_2$.

Langkah III

1. Bagilah semua elemen pada baris ke-2 dengan d.
2. Buatlah elemen b bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(bd)R2+R1$-\left(\frac{b}{d}\right)R_2+R_1$.

Langkah IV

Jika bentuk (acbd ∣∣∣pq  ) $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}& |\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\end{array}\right)$ telah berubah menjadi (1001 ∣∣∣kl  ) $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}& |\begin{array}{c}k\\ l\end{array}\end{array}\right)$, maka penyelesaian dari persamaan {ax+bycx+dy==pq $\{\begin{array}{lll}ax+by& =& p\\ cx+dy& =& q\end{array}$ adalah x=k $x=k$ dan y=l $y=l$.

Apakah penjelasan di atas dapat dipahami?

Mari kita perhatikan contoh berikut agar penjelasan di atas dapat lebih mudah dipahami.

Contoh 1:

Tentukan (x, y) yang memenuhi sistem persamaan {7x−3y=173x+5y=1 $\{\begin{array}{c}7x-3y=17\\ 3x+5y=1\end{array}$.

Penyelesaian:

Langkah I

Nyatakan sistem persamaan linear dalam persamaan matriks berikut: (73−35 )(xy )=(171 )$\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}17\\ 1\end{array}\right)$.

Selanjutnya bentuklah matriks seperti berikut: (73−35 ∣∣∣171  ) $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}7& -3\\ 3& 5\end{array}& |\begin{array}{c}17\\ 1\end{array}\end{array}\right)$.

Langkah II

Misalkan Ri adalah elemen matriks pada baris ke-i, dengan i = 1, 2.

Bagilah semua elemen pada baris pertama dengan elemen pada baris pertama kolom pertama →R17$\to \frac{R_1}{7}$.

• (13−375 ∣∣∣1771  ) $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}1& -\frac{3}{7}\\ 3& 5\end{array}& |\begin{array}{c}\frac{17}{7}\\ 1\end{array}\end{array}\right)$

Buatlah elemen pada baris kedua kolom pertama bernilai nol → -3R1 + R2.

• (10−37447 ∣∣∣∣177−447  ) $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}1& -\frac{3}{7}\\ 0& \frac{44}{7}\end{array}& |\begin{array}{c}\frac{17}{7}\\ -\frac{44}{7}\end{array}\end{array}\right)$

Langkah III

Bagilah semua elemen di baris ke-2 dengan elemen pada baris kedua kolom kedua →744R2$\to \frac{7}{44}{R}_2$.

• (10−371 ∣∣∣177−1  ) $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}1& -\frac{3}{7}\\ 0& 1\end{array}& |\begin{array}{c}\frac{17}{7}\\ -1\end{array}\end{array}\right)$

Buatlah elemen pada baris pertama kolom kedua bernilai nol → 37R_2+R_1$\frac{3}{7}R\mathrm{\_}2+R\mathrm{\_}1$.

• (1001 ∣∣∣2−1  ) 

Berdasarkan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa (x, y) = (2, –1).

Tentunya kalian sudah lebih paham tentang metode Gauss-Jordan bukan?

###Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Nah, bagaimanakah penggunaan metode Gauss-Jordan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel?

Mari kita perhatikan lima langkah berikut.

Langkah I

Nyatakan sistem persamaan linear:

⎧⎩⎨⎪⎪ax+by+czdx+ey+fzgx+hy+iz===pqr $\{\begin{array}{lll}ax+by+cz& =& p\\ dx+ey+fz& =& q\\ gx+hy+iz& =& r\end{array}$

dalam persamaan matriks seperti berikut:

⎛⎝⎜adgbehcfi ⎞⎠⎟⎛⎝⎜xyz ⎞⎠⎟=⎛⎝⎜klm ⎞⎠⎟ $\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k\\ l\\ m\end{array}\right)$

Selanjutnya bentuklah matriks seperti berikut:

⎛⎝⎜adgbehcfi ∣∣∣∣klm  ⎞⎠⎟ $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}& |\begin{array}{c}k\\ l\\ m\end{array}\end{array}\right)$

Langkah II

Misalkan Ri adalah elemen matriks pada baris ke-i, dengan i = 1, 2, 3.

1. Bagilah semua elemen pada baris pertama dengan a.
2. Buatlah elemen d bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(da)R1+R2$-\left(\frac{d}{a}\right)R_1+R_2$.
3. Buatlah elemen g bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(ga)R1+R3$-\left(\frac{g}{a}\right)R_1+R_3$.

Langkah III

1. Bagilah semua elemen pada baris ke-2 dengan e.
2. Buatlah elemen b bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(be)R2+R1$-\left(\frac{b}{e}\right)R_2+R_1$.
3. Buatlah elemen h bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(he)R2+R3$-\left(\frac{h}{e}\right)R_2+R_3$.

Langkah IV

1. Bagilah semua elemen pada baris ke-3 dengan i.
2. Buatlah elemen c bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(ci)R3+R1$-\left(\frac{c}{i}\right)R_3+R_1$.
3. Buatlah elemen f bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(fe)R3+R2$-\left(\frac{f}{e}\right)R_3+R_2$.

Langkah V

Jika bentuk ⎛⎝⎜adgbehcfi ∣∣∣∣klm  ⎞⎠⎟ $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}& |\begin{array}{c}k\\ l\\ m\end{array}\end{array}\right)$ telah berubah menjadi ⎛⎝⎜100010001 ∣∣∣∣klm  ⎞⎠⎟ $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}& |\begin{array}{c}k\\ l\\ m\end{array}\end{array}\right)$

maka penyelesaian dari sistem persamaan

⎧⎩⎨⎪⎪ax+by+czdx+ey+fzgx+hy+iz===pqr $\{\begin{array}{lll}ax+by+cz& =& p\\ dx+ey+fz& =& q\\ gx+hy+iz& =& r\end{array}$

adalah x = k, y = l, dan z = m.

Agar kalian lebih paham, mari kita perhatikan contoh berikut.

Contoh 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel: ⎧⎩⎨⎪⎪x+y+zx+3y+2z2x+y+2z===6912  $\{\begin{array}{lll}x+y+z& =& 6\\ x+3y+2z& =& 9\\ 2x+y+2z& =& 12\end{array}$

Penyelesaian:

Langkah I

Nyatakan sistem persamaan linear dalam persamaan matriks berikut: ⎛⎝⎜112131122 ⎞⎠⎟⎛⎝⎜xyz ⎞⎠⎟=⎛⎝⎜6912 ⎞⎠⎟ $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 3& 2\\ 2& 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ 12\end{array}\right)$.

Selanjutnya bentuklah matriks seperti berikut: ⎛⎝⎜112131122 ∣∣∣∣6912  ⎞⎠⎟ $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 3& 2\\ 2& 1& 2\end{array}& |\begin{array}{c}6\\ 9\\ 12\end{array}\end{array}\right)$

Langkah II

Misalkan Ri adalah elemen matriks pada baris ke-i, dengan i = 1, 2, 3.

Bagilah semua elemen pada baris pertama dengan elemen baris pertama kolom pertama → R11=R1$\frac{R_1}{1}=R_1$.

• ⎛⎝⎜112131122 ∣∣∣∣6912  ⎞⎠⎟ $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 3& 2\\ 2& 1& 2\end{array}& |\begin{array}{c}6\\ 9\\ 12\end{array}\end{array}\right)$

Buatlah elemen pada baris kedua kolom pertama bernilai nol → −R1+R2$-R_1+R_2$.

• ⎛⎝⎜102121112 ∣∣∣∣6312  ⎞⎠⎟ $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ 2& 1& 2\end{array}& |\begin{array}{c}6\\ 3\\ 12\end{array}\end{array}\right)$

Buatlah elemen pada baris ketiga kolom pertama bernilai nol → −2R1+R3$-2R_1+R_3$.

• ⎛⎝⎜10012−1110 ∣∣∣∣630  ⎞⎠⎟ 

Jadi, tahun terjadinya peristiwa kedatangan Belanda di bawah pimpinan Cornelis De Houtman, lahirnya R.A. Kartini, dan lahirnya Supersemar berturut-turut adalah tahun 1.596, tahun 1.879 dan tahun 1.966.

contoh soal eliminasi gauss jordan 3 variabel,

contoh soal eliminasi gauss jordan 4 variabel,

soal dan pembahasan gauss jordan,

contoh soal eliminasi gauss 3 variabel,

metode gauss jordan pdf,

contoh soal eliminasi gauss jordan 5 variabel,

eliminasi gauss jordan 2 variabel,

eliminasi gauss jordan 4x4,

Share this post