Penerapan pada Masalah Nyata tentang Matriks

Penerapan pada Masalah Nyata tentang Matriks - Pada lomba tebak cepat, Andi merasa kesulitan saat diberi pertanyaan sebagai berikut:

Dua kali umur Aprilio ditambah tiga kali umur Julia adalah 61 tahun, sedangkan empat kali umur Julia dikurangi tiga kali umur Aprilio adalah 19 tahun. Berapakah jumlah umur Aprilio dan umur Julia?

Apakah kalian dapat membantu Andi dengan menjawab pertanyaan di atas?

Seperti yang telah kalian ketahui, masalah di atas merupakan aplikasi dari masalah sistem linear yang dapat dibawa ke dalam persamaan matriks. Mari kita ingat kembali tiga metode yang telah kalian pelajari dari topik-topik sebelumnya dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.

Metode Invers Matriks

Ada tiga langkah yang perlu kalian ikuti untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode invers matriks.

Langkah I

Nyatakan sistem persamaan linear

{ax+by=pcx+dy=q $\{\begin{array}{c}ax+by=p\\ cx+dy=q\end{array}$
ke dalam persamaan matriks AX = B, dengan

• A=(acbd ) $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$
• X=(xy ) $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
• B=(pq ) $B=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$

Langkah II

Tentukan A-1 dengan menggunakan rumus invers matriks berordo dua.

Langkah III

Carilah matriks X yang memenuhi persamaan X = A-1B.

Nah, dari langkah III, kalian dapat dengan mudah menentukan nilai dari x dan y.

Contoh 1:

Dua kali umur Aprilio ditambah tiga kali umur Julia adalah 61 tahun. Empat kali umur Julia dikurangi tiga kali umur Aprilio adalah 19 tahun. Tentukan jumlah umur Aprilio dan umur Julia.

Penyelesaian:

Jika kita misalkan umur Aprilio = x dan umur Julia = y, maka berdasarkan permasalahan di atas, dapat dibentuk sistem persamaan linear seperti berikut: {2x+3y=614y−3x=19 $\{\begin{array}{c}2x+3y=61\\ 4y-3x=19\end{array}$.

Nah, bentuk persamaan matriksnya adalah [2−334 ][xy ]=[6119 ]$\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}61\\ 19\end{array}\right]$.

Jika kita gunakan metode invers matriks, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa jumlah umur Aprilio dan umur Julia adalah 11 + 13 = 24 tahun.

Metode Cramer

Dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, selain dengan menggunakan metode invers matriks, kalian juga dapat menggunakan metode Cramer.

Berdasarkan metode Cramer, penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel:
{ax+by=pcx+dy=q $\{\begin{array}{c}ax+by=p\\ cx+dy=q\end{array}$
adalah sebagai berikut:

• x=∣∣∣pqbd ∣∣∣∣∣∣acbd ∣∣∣=DxD$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}p& b\\ q& d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{D_x}{D}$
• y=∣∣∣acpq ∣∣∣∣∣∣acbd ∣∣∣=DyD$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}a& p\\ c& q\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{D_y}{D}$

Adapun penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel:
⎧⎩⎨⎪⎪ax+by+cz=pdx+ey+fz=qgx+hy+iz=r $\{\begin{array}{c}ax+by+cz=p\\ dx+ey+fz=q\\ gx+hy+iz=r\end{array}$
adalah sebagai berikut:

• x=∣∣∣∣∣pqrbehcfi ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣adgbehcfi ∣∣∣∣∣=DxD$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}p& b& c\\ q& e& f\\ r& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}=\frac{D_x}{D}$
• y=∣∣∣∣∣adgpehcfi ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣adgbehcfi ∣∣∣∣∣=DyD$y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& p& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}=\frac{D_y}{D}$
• z=∣∣∣∣∣adgbehpqr ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣adgbehcfi ∣∣∣∣∣=DzD$z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& b& p\\ d& e& q\\ g& h& r\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}=\frac{D_z}{D}$

Mudah dipahami bukan?

Contoh 2:

Zoel dan Ade pergi ke kios pulsa. Zoel membeli 3 buah kartu perdana A dan 2 buah kartu perdana B, kemudian membayar Rp53.000,00. Ade membeli 2 buah kartu perdana A dan sebuah kartu perdana B, kemudian membayar Rp32.500,00. Tentukan harga sebuah kartu perdana A dan harga sebuah kartu perdana B.

Penyelesaian:

Jika dimisalkan

• x = harga kartu perdana
• y = harga kartu perdana

maka bentuk sistem persamaan linear dari permasalahan di atas dapat ditulis sebagai berikut: {3x+2y=53.0002x+y=32.500 $\{\begin{array}{c}3x+2y=53.000\\ 2x+y=32.500\end{array}$.

Sistem persamaan linear di atas dapat kita tuliskan dalam persamaan matriks: [3221 ][xy ]=[53.00032.500 ]$\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}53.000\\ 32.500\end{array}\right]$.

Selanjutnya, dengan menggunakan metode Cramer, diperoleh hasil sebagai berikut:

Jadi, dapat disimpulkan bahwa harga sebuah kartu perdana A adalah Rp12.000,00 dan harga sebuah kartu perdana B adalah Rp8.500,00.

Metode Gauss-Jordan

Metode lain yang dapat kalian gunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah metode Gauss-Jordan.

Apakah kalian masih ingat?

Ada empat langkah yang perlu kalian ikuti untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel: {ax+bycx+dy==pq $\{\begin{array}{lll}ax+by& =& p\\ cx+dy& =& q\end{array}$.

Langkah I

Nyatakan sistem persamaan linear: {ax+bycx+dy==pq $\{\begin{array}{lll}ax+by& =& p\\ cx+dy& =& q\end{array}$ dalam bentuk persamaan matriks: (acbd )(xy )=(pq )$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$.

Selanjutnya bentuklah matriks seperti berikut: (acbd ∣∣∣pq  ) $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}& |\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\end{array}\right)$.

Langkah II

Misalkan Ri adalah elemen matriks pada baris ke-i, dengan i = 1, 2.

1. Bagilah semua elemen pada baris pertama dengan a.
2. Buatlah elemen c bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(ca)R1+R2$-\left(\frac{c}{a}\right)R_1+R_2$.

Langkah III

1. Bagilah semua elemen pada baris ke-2 dengan d.
2. Buatlah elemen b bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(bd)R2+R1$-\left(\frac{b}{d}\right)R_2+R_1$.

Langkah IV

Jika bentuk (acbd ∣∣∣pq  ) $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}& |\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\end{array}\right)$ telah berubah menjadi (1001 ∣∣∣kl  ) $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}& |\begin{array}{c}k\\ l\end{array}\end{array}\right)$, maka penyelesaian dari persamaan {ax+bycx+dy==pq $\{\begin{array}{lll}ax+by& =& p\\ cx+dy& =& q\end{array}$ adalah x=k $x=k$ dan y=l $y=l$.

[mportant]Nah, bagaimanakah penggunaan metode Gauss-Jordan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel?

Mari kita perhatikan lima langkah berikut.

Langkah I

Nyatakan sistem persamaan linear:

⎧⎩⎨⎪⎪ax+by+czdx+ey+fzgx+hy+iz===pqr $\{\begin{array}{lll}ax+by+cz& =& p\\ dx+ey+fz& =& q\\ gx+hy+iz& =& r\end{array}$

dalam persamaan matriks seperti berikut:

⎛⎝⎜adgbehcfi ⎞⎠⎟⎛⎝⎜xyz ⎞⎠⎟=⎛⎝⎜klm ⎞⎠⎟ $\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k\\ l\\ m\end{array}\right)$

Selanjutnya bentuklah matriks seperti berikut:

⎛⎝⎜adgbehcfi ∣∣∣∣klm  ⎞⎠⎟ 

Langkah II

Misalkan Ri adalah elemen matriks pada baris ke-i, dengan i = 1, 2, 3.

1. Bagilah semua elemen pada baris pertama dengan a.
2. Buatlah elemen d bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(da)R1+R2$-\left(\frac{d}{a}\right)R_1+R_2$.
3. Buatlah elemen g bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(ga)R1+R3$-\left(\frac{g}{a}\right)R_1+R_3$.

Langkah III

1. Bagilah semua elemen pada baris ke-2 dengan e.
2. Buatlah elemen b bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(be)R2+R1$-\left(\frac{b}{e}\right)R_2+R_1$.
3. Buatlah elemen h bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(he)R2+R3$-\left(\frac{h}{e}\right)R_2+R_3$.

Langkah IV

1. Bagilah semua elemen pada baris ke-3 dengan i.
2. Buatlah elemen c bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(ci)R3+R1$-\left(\frac{c}{i}\right)R_3+R_1$.
3. Buatlah elemen f bernilai nol, yaitu dengan menerapkan rumus berikut: −(fe)R3+R2$-\left(\frac{f}{e}\right)R_3+R_2$.

Langkah V

Jika bentuk ⎛⎝⎜adgbehcfi ∣∣∣∣klm  ⎞⎠⎟ $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}& |\begin{array}{c}k\\ l\\ m\end{array}\end{array}\right)$ telah berubah menjadi ⎛⎝⎜100010001 ∣∣∣∣klm  ⎞⎠⎟ $\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}& |\begin{array}{c}k\\ l\\ m\end{array}\end{array}\right)$

maka penyelesaian dari sistem persamaan

⎧⎩⎨⎪⎪ax+by+czdx+ey+fzgx+hy+iz===pqr $\{\begin{array}{lll}ax+by+cz& =& p\\ dx+ey+fz& =& q\\ gx+hy+iz& =& r\end{array}$

adalah x = k, y = l, dan z = m.

Contoh 3:

Sampai saat ini, bangsa Indonesia telah mengalami peristiwa-peristiwa sejarah yang patut diketahui, tiga diantaranya adalah kedatangan Belanda di bawah pimpinan Cornelis De Houtman, lahirnya R.A. Kartini, dan lahirnya Surat Perintah Sebelas Maret (Supersemar). Jika kita jumlahkan tahun terjadinya ketiga peristiwa tersebut, maka kita akan mendapatkan 5.441. Supersemar lahir 87 tahun setelah lahirnya R. A. Kartini dan 370 tahun setelah kedatangan Belanda di bawah pimpinan Cornelis De Houtman. Pada tahun berapa masing-masing peristiwa sejarah tersebut terjadi?

Penyelesaian:

Misalkan a, b, dan c berturut-turut adalah tahun terjadinya peristiwa kedatangan Belanda di bawah pimpinan Cornelis De Houtman, lahirnya R.A. Kartini, dan lahirnya Supersemar.

contoh soal penerapan matriks dalam kehidupan sehari hari,

contoh soal cerita matriks dan jawabannya,

contoh matriks yang dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari,

contoh soal cerita matriks invers,

penerapan matriks dalam bidang ekonomi,

contoh soal cerita matriks berordo 3x3,

soal cerita matriks kelas 12,

soal penerapan matriks dalam ekonomi,

Share this post