Transformasi Titik Menggunakan Matriks

Transformasi Titik Menggunakan Matriks - Dalam topik yang telah lalu, kalian telah belajar mengenai metode invers matriks.

Apakah kalian masih ingat?

Saya harap kalian masih ingat materi tersebut, karena materi tersebut akan kita gunakan dalam mempelajari transformasi titik menggunakan matriks.

Nah, dalam topik kali ini, kalian akan belajar menentukan koordinat suatu titik yang telah ditransformasi terhadap suatu matriks. Pada bahasan selanjutnya, titik hasil transformasi akan disebut sebagai titik bayangan.

Jika titik P(x, y) ditransformasikan terhadap matriks transformasi (acbd )$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, maka bayangannya adalah P’(x’, y’).

Nah, koordinat bayangan tersebut dapat ditentukan dengan cara menyelesaiakan perkalian matriks berikut:
(x′y′ )=(acbd )(xy )$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$.

Pada persamaan matriks di atas, (x′y′ )$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$ kita sebut sebagai matriks bayangan dari titik yang ditransformasikan, (acbd )$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ adalah matriks transformasi, dan (xy )$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ adalah matriks titik asal atau titik yang akan ditransformasikan.

Apakah materi di atas mudah dipahami?

Mari kita perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 1

Tentukan bayangan titik A(-5 , -2) jika ditransformasikan terhadap matriks (05−10 )$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 5& 0\end{array}\right)$.

Penyelesaian:

Jika (x' , y') adalah bayangan titik A(-5 , -2), maka

(x′y′ )=(05−10 )(−5−2 )=(0+2−25+0 )=(2−25 )$\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 5& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}0+2\\ -25+0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}2\\ -25\end{array}\right)\end{array}$

Dengan demikian, bayangan titik A(-5 , -2) terhadap transformasi (05−10 )$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 5& 0\end{array}\right)$ adalah A’(2 , -25).

Mudah bukan?

Mari kita perhatikan contoh selanjutnya.

Contoh 2

Tentukan bayangan titik A(-1, 3) dan B(-2, 4) jika ditransformasikan terhadap matriks (20−14 )$\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 4\end{array}\right)$.

Penyelesaian:

Jika bayangan titik A(-5 , -2) dan B(-2 , 4) terhadap transformasi (20−14 )$\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 4\end{array}\right)$ berturut-turut adalah A'(x' , y') dan B''(x'' , y''), maka

(x′y′x′′y′′ )$\left(\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& x^{″}\\ y^{\prime }& y^{″}\end{array}\right)$

=(20−14 )(−13−24 )$=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 3& 4\end{array}\right)$

=(−2−30+12−4−40+16 )$=\left(\begin{array}{cc}-2-3& -4-4\\ 0+12& 0+16\end{array}\right)$

=(−512−816 )$=\left(\begin{array}{cc}-5& -8\\ 12& 16\end{array}\right)$

Berdasarkan uraian di atas, kolom pertama merupakan bayangan dari titik A, sedangkan kolom kedua adalah bayangan dari titik B.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa bayangan titik A(-1, 3) dan B(-2, 4) terhadap transformasi matriks (20−14 )$\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 4\end{array}\right)$ berturut-turut adalah A’(-5 , 12) dan B’(-8 , 16).

Contoh 3

Nah, jika koordinat titik asal dan koordinat titik bayangan telah diketahui, bagaimanakah cara menentukan matriks transformasinya?

Mari kita cari tahu jawaban dari pertanyaan di atas dengan memperhatikan contoh berikut ini.

Suatu transformasi linear T memetakan titik (3, 1) dan (5, 2) berturut-turut menjadi titik (5, 13) dan (8, 23). Tentukan bayangan titik (-5, 3) jika dipetakan oleh transformasi linear T.

Penyelesaian:

Bayangan titik (-5, 3) dapat kalian tentukan jika matriks transformasi T sudah diketahui.

Nah, untuk menentukan matriks transformasi T, dapat dibentuk persamaan matriks seperti berikut: T(3152 )=(513823 )$T\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 13& 23\end{array}\right)$.

Matriks disebelah kanan matriks transformasi T adalah matriks yang berisi koordinat titik asal, sedangkan matriks di ruas kanan berisi koordinat titik bayangan.

Apakah kalian masih ingat dengan konsep XA = B ⇔ X = BA-1 ?

Berdasarakan persamaan matriks di atas, matriks T dapat ditentukan dengan cara berikut:

Apakah kalian sudah paham dengan materi di atas?

contoh soal dan pembahasan transformasi matriks,

contoh soal komposisi transformasi dan penyelesaiannya,

koordinat bayangan titik (-2 3) karena rotasi sebesar 60 derajat,

komposisi transformasi geometri,

contoh soal transformasi geometri refleksi,

sebuah garis 3x+2y=6 ditranslasikan dengan matriks,

contoh soal dilatasi,

pencerminan terhadap garis y=mx+c,

Share this post