Contoh Soal Sumbu Simetri dan Nilai Optimum Fungsi Kuadrat

Contoh Soal Sumbu Simetri dan Nilai Optimum Fungsi Kuadrat - Pada topik sebelumnya kalian telah belajar tentang fungsi kuadrat dan grafik fungsi kuadrat. Nah, pada topik kali ini kalian akan belajar menentukan persamaan sumbu simetri dan nilai optimum fungsi kuadrat 

$y=a{x}^2+bx+c$ dengan memperhatikan nilai $a$, $b$, dan $c$.

Konsep Dasar

Tahukah kalian persamaan sumbu simetri dan nilai optimum dari keenam grafik fungsi kuadrat di atas?

Jika kalian cermati dengan seksama, maka kalian akan mendapatkan hasil sebagai berikut:

Nah, apa yang dapat kamu simpulkan dari tabel di atas?

Ya, ternyata jika titik puncak suatu grafik fungsi kuadrat $y=f(x)$ adalah $(x_p,y_p)$, maka $x_p$ adalah persamaan sumbu simetri, sedangkan $y_p=f(x_p)$ adalah nilai optimum.

Yuk kita cermati uraian berikut.

$\begin{array}{lll}y& =& a{x}^2+bx+c\\ & =& a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\ & =& a\left(x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\right)+c-\frac{b^2}{4a}\\ & =& a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\\ & =& a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\\ & =& a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{D}{4a}\end{array}$

Berdasarkan konsep pergeseran grafik fungsi, dapat kita simpulkan bahwa koordinat titik puncak dari grafik fungsi $y=a{x}^2+bx+c$ adalah $(x_p,y_p)$, dengan $x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=-\frac{D}{4a}$, dimana $D=b^2-ac$.

Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa persamaan sumbu simetri dari grafik fungsi $y=a{x}^2+bx+c$ adalah $x=-\frac{b}{2a}$, sedangkan nilai optimumnya adalah $y=-\frac{b}{2a}$.

Apakah kalian masih ingat pengaruh nilai $a$ terhadap titik optimum?

Seperti yang telah kalian pelajari pada topik sebelumnya, kita ketahui bahwa:

• Jika $a<0$, maka kurva akan membuka ke bawah, sehingga titik puncak kurva merupakan titik balik maksimum.
• Jika $a>0$, maka kurva akan membuka ke atas, sehingga titik puncak kurva merupakan titik balik minimum.

Apakah kalian sudah paham dengan penjelasan di atas?

Yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut agar kalian semakin paham.

Contoh 1

Tentukan persamaan sumbu simetri dan nilai optimum dari fungsi kuadrat $y=x^2+2x-5$.

Penyelesaian:

Dari fungsi kuadrat $y=x^2+2x-5$ kita ketahui bahwa $a=1$, $b=2$, dan $c=-5$.

Persamaan sumbu simetri dari grafik fungsi kuadrat $y=x^2+2x-5$ adalah $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1$.

Dengan demikian, nilai optimum dari grafik fungsi kuadrat $y=x^2+2x-5$ adalah $y=f(-1)=(-1{)}^2+2(-1)-5=1-2-5=-6$.

Nah, jika kita gunakan rumus, nilai optimum yang diperoleh juga sama, yaitu

$\begin{array}{lll}D& =& -\frac{D}{4a}\\ & =& -\left(\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\\ & =& -\left(\frac{2^2-4\times 1\times \left(-5\right)}{4\times 1}\right)\\ & =& -6\end{array}$

Contoh 2

Jika nilai minimum dari fungsi kuadrat $y=2x^2-11x+p$ adalah $-\frac{1}{8}$, maka berapakah nilai $p$ yang memenuhi?

Penyelesaian:

Dari fungsi kuadrat $y=2x^2-11x+p$ kita ketahui bahwa $a=2$, $b=-11$, dan $c=p$.

Jika kita gunakan rumus nilai optimum, maka akan kita peroleh hasil sebagai berikut:

$\begin{array}{lll}-\frac{D}{4a}& =& -\frac{1}{8}\\ \iff \frac{b^2-4ac}{4a}& =& \frac{1}{8}\\ \iff \frac{{\left(-11\right)}^2-4\left(2\right)\left(p\right)}{4\left(2\right)}& =& \frac{1}{8}\\ \iff 121-8p& =& 1\\ \iff -8p& =& -120\\ \iff p& =& \frac{120}{8}\\ \iff p& =& 15\end{array}$

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa $p=15$.

S1

Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat $y=5x^2-20x+1$ adalah ….

S2

Jika persamaan sumbu simetri dari grafik fungsi kuadrat $y=m{x}^2-16x+1$ adalah $x=4$, maka nilai $m$ adalah ….

S3

Nilai optimum fungsi kuadrat $y=2x^2-4x$ adalah ….

S4

Jika nilai optimum dari fungsi kuadrat $y=k+4x+2x^2$ adalah $y=2$, maka nilai $k$ adalah ….

S5

Titik balik minimum dari grafik fungsi kuadrat $y=2{\left(x+2\right)}^2+3$ adalah ….

S6

Titik balik minimum dari grafik fungsi kuadrat $y=\left(x-6\right)\left(x+2\right)$ adalah ….

S7

Jika titik puncak grafik fungsi kuadrat $y=x^2+px+k$ adalah $(1,2)$, maka nilai dari $p+k$ adalah ….

S8

Diketahui persamaan sumbu simetri dari grafik fungsi kuadrat $y=m{x}^2-3x+15$ adalah $x=3$. Nilai optimumnya adalah ….

S9

Diketahui bahwa nilai minimum dari fungsi kuadrat $y=2x^2+6x-m$ adalah tiga. Nilai $m$ adalah ….

S10

Diketahui nilai minimum grafik fungsi kuadrat $y=8x^2-px+6$ adalah $-2$. Jika $p>0$, maka persamaan sumbu simetrinya adalah ….

Share this post