Penerapan Invers Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penerapan Invers Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Dua Variabel - Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang determinan dan invers matriks. Tentunya kalian sudah paham bukan? Pemahaman kalian pada topik-topik tersebut akan sangat membantu kalian dalam mempelajari topik ini, yaitu tentang penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan menggunakan invers matriks. Bagaimanakah caranya? Untuk mengetahuinya, mari kita pelajari bersama-sama.

Penerapan Invers Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sebelum belajar tentang penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan menggunakan invers matriks, mari kita ingat kembali tentang bentuk umum SPLDV dan invers matriks berikut ini.

Jika kalian sudah mengingatnya, mari perhatikan ilustrasi berikut.

☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲

Minggu pagi, Anisa dan Clara pergi ke toko alat tulis. Mereka ingin membeli buku dan pensil untuk keperluan sekolah. Anisa membeli 2 buku dan 1 pensil dengan harga Rp5.000,00, sedangkan Clara membeli 1 buku 2 pensil yang sama dengan harga Rp4.000,00. Dapatkah kalian menebak harga 1 buku dan 1 pensil pada toko tersebut?

☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲

        Ilustrasi di atas merupakan salah satu contoh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dalam kehidupan sehari-hari. Di kelas X, kalian telah belajar menyelesaikannya metode grafik, metode substitusi, metode eliminiasi, dan metode eliminasi-substitusi. Di kelas XII ini, kalian akan belajar menyelesaikannya dengan menggunakan invers matriks. Untuk lebih jelasnya, mari simak uraian berikut ini.

🍇 KONSEP

▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩

Misalkan terdapat sistem persamaan linear dua variabel berikut.

ax+by=pcx+dy=q$\begin{array}{l}ax+by=p\\ cx+dy=q\end{array}$

Sistem persamaan linear dua variabel tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan matriks seperti di bawah ini.

(acbd)(xy)=(pq)$\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}p\\ q\end{array}\right)$

Persamaan matriks di atas dapat diselesaikan dengan sifat matriks berikut.

Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah:

(acbd)A(xy)⏟X(xy)(xy)===(pq)⏟B(acbd)−1(pq)1ad−bc(d−c−ba)(pq)$\begin{array}{lll}\underset{\mathrm{A}}{\underbrace{\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)}}\underset{\mathrm{X}}{\underbrace{\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)}}& =& \underset{\mathrm{B}}{\underbrace{\left(\begin{array}{l}p\\ q\end{array}\right)}}\\ \left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{ll}=& {\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{l}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)& =& \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{ll}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}p\\ q\end{array}\right)\end{array}$

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Setelah memahami konsep tersebut, mari kita selesaikan permasalahan pada ilustrasi di atas.

Misalkan:

x = harga buku

y = harga pensil

Sistem persamaan linear dua variabel yang terbentuk dari ilustrasi tersebut adalah:

2x + y = 5000

x + 2y = 4000

Kemudian, ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks berikut.

(2112)(xy)=(50004000)$\left(\begin{array}{ll}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5000\\ 4000\end{array}\right)$

Penyelesaian dari persamaan matriks tersebut dapat kita tentukan dengan menggunakan invers matriks berikut:

(xy)=(2112)−1(50004000)=1(2.2)−(1.1)(2−1−12)(50004000)=14−1(2−1−12)(50004000)=13(2−1−12)(50004000)=13(2(5000)−1(4000)−1(5000)+2(4000))=13(60003000)=(20001000)$\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)& ={\left(\begin{array}{ll}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{l}5000\\ 4000\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{ll}& =\frac{1}{\left(2.2\right)-\left(1.1\right)}\left(\begin{array}{ll}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}5000\\ 4000\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{4-1}\left(\begin{array}{ll}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}5000\\ 4000\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ll}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}5000\\ 4000\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{ll}& =\frac{1}{3}\left(\begin{array}{l}2\left(5000\right)-1\left(4000\right)\\ -1\left(5000\right)+2\left(4000\right)\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{3}\left(\begin{array}{l}6000\\ 3000\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{l}2000\\ 1000\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, diperoleh harga buku Rp2.000,00 dan harga pensil Rp1.000,00.

▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩

Begitulah cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan invers matriks. Mudah bukan? Agar lebih jelas lagi, perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan invers matriks.

3x−2y=52x+y=8$\begin{array}{l}3x-2y=5\\ 2x+y=8\end{array}$

Jawab:

Mula-mula, ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks berikut.

(32−21)(xy)=(58)$\left(\begin{array}{ll}3& -2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5\\ 8\end{array}\right)$

Kemudian, tentukan penyelesaiannya dengan menggunakan invers matriks seperti berikut.

(32−21)(xy)=(58)⇔(xy)=(32−21)−1(58)⇔(xy)=13.1−(−2.2)(1−223)(58)⇔(xy)=17(2114)⇔(xy)=(32)$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 1\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{3.1-\left(-2.2\right)}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{c}21\\ 14\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah {3,2}.

Nah, kalian telah selesai belajar tentang cara menyelesaikan SPLDV dengan menggunakan invers matriks. Agar pemahaman kalian bertambah lagi, yuk kerjakan latihan soal-soal berikut ini.

Share this post