Contoh Soal Vektor Unit dan Vektor Basis

Contoh Soal Vektor Unit dan Vektor Basis - Vektor unit atau vektor satuan dari suatu vektor tak nol didefinisikan sebagai suatu vektor yang memiliki panjang satu satuan dan memiliki arah yang sama dengan vektor tersebut. Misalkan 

v⃗ $\overrightarrow{v}$ adalah vektor tak nol. Vektor satuan dari v⃗ $\overrightarrow{v}$ yang dilambangkan dengan vˆ$\hat{v}$ dapat ditentukan dengan membagi vektor v⃗ $\overrightarrow{v}$ dengan panjang vektor |v⃗ |$|\overrightarrow{v}|$. Secara matematis, vektor satuan dari v⃗ $\overrightarrow{v}$ dirumuskan dengan:

Secara grafis, vektor unit diilustrasikan sebagai berikut:

Dalam sistem koordinat, vektor satuan dinyatakan dalam bentuk vektor basis, misalnya pada ruang dua dimensi dan tiga dimensi berikut ini.

☀ Ruang dua dimensi (R2 )

Pada ruang dua dimensi, hanya ada dua vektor basis, yaitu iˆ$\hat{i}$ dan jˆ$\hat{j}$. iˆ$\hat{i}$ merupakan vektor satuan pada arah sumbu X, yaitu iˆ=⟨1,0⟩$\hat{i}=⟨1,0⟩$, sedangkan jˆ$\hat{j}$ merupakan vektor satuan pada arah sumbu Y, yaitu jˆ=⟨0,1⟩$\hat{j}=⟨0,1⟩$. Jika dinyatakan dengan vektor kolom, diperoleh:

i^=(10)j^=(01)$\begin{array}{l}\hat{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\\ \hat{j}=\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$

☀ Ruang tiga dimensi (R3 )

Pada ruang tiga dimensi, selain terdapat vektor basis iˆ$\hat{i}$ dan jˆ$\hat{j}$, ada satu vektor basis lagi, yaitu kˆ$\hat{k}$. iˆ$\hat{i}$ merupakan vektor satuan pada arah sumbu X, yaitu iˆ=⟨1,0,0⟩$\hat{i}=⟨1,0,0⟩$, jˆ$\hat{j}$merupakan vektor satuan pada arah sumbu Y, yaitu jˆ=⟨0,1,0⟩$\hat{j}=⟨0,1,0⟩$, dan kˆ$\hat{k}$ merupakan vektor satuan pada arah sumbu Z, yaitu kˆ=⟨0,0,1⟩$\hat{k}=⟨0,0,1⟩$ . Jika dinyatakan dengan vektor kolom, diperoleh:

i^=⎛⎝⎜100⎞⎠⎟j^=⎛⎝⎜010⎞⎠⎟k^=⎛⎝⎜001⎞⎠⎟$\begin{array}{l}\hat{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ \hat{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\\ \hat{k}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$

SOAL 1

Hubungan yang benar antara vektor, panjang vektor, dan vektor satuan adalah ....

SOAL 2

Vektor satuan dari vektor A⃗ =⟨5,12⟩$\overrightarrow{A}=⟨5,12⟩$ adalah ....

SOAL 3

Vektor satuan dari vektor A⃗ =⟨1,3,1,3,1,2⟩$\overrightarrow{A}=⟨1,3,1,3,1,2⟩$ adalah….

SOAL 4

Vektor yang searah dengan vektor A⃗ =i^+2j^$\overrightarrow{A}=\hat{i}+2\hat{j}$dan mempunyai panjang 55–√$5\sqrt{5}$ satuan adalah ....

SOAL 5

Vektor iˆ=⟨1,0,0⟩$\hat{i}=⟨1,0,0⟩$, jˆ=⟨0,1,0⟩$\hat{j}=⟨0,1,0⟩$, dan kˆ=⟨0,0,1⟩$\hat{k}=⟨0,0,1⟩$ merupakan vektor basis pada ruang dimensi 3. Jika vektor A⃗ =⟨2,−5,1⟩$\overrightarrow{A}=⟨2,-5,1⟩$dinyatakan dalam vektor basis i^$\hat{i}$, j^$\hat{j}$, dan k^$\hat{k}$ akan diperoleh ….

SOAL 6

Jika untuk sebarang vektor V⃗ $\overrightarrow{V}$ dalam ruang dimensi N terdapat a1,a2,…an∈R$a_1,a_2,\dots a_n\in R$sedemikian sehingga V⃗ =a1B1→+a2B2→+a3B3→+...+anBn→$\overrightarrow{V}=a_1\overrightarrow{B_1}+a_2\overrightarrow{B_2}+a_3\overrightarrow{B_3}+...+a_n\overrightarrow{B_n}$, maka vektor B1→,B2→,B3→,...,Bn→$\overrightarrow{B_1},\overrightarrow{B_2},\overrightarrow{B_3},...,\overrightarrow{B_n}$ merupakan ….

SOAL 7

Vektor A⃗ =3i^+3j^$\overrightarrow{A}=3\hat{i}+3\hat{j}$ dan B⃗ =(x+y)i^+(2x−y)j^$\overrightarrow{B}=(x+y)\hat{i}+(2x-y)\hat{j}$ merupakan dua buah vektor yang dinyatakan dalam basis i^$\hat{i}$ dan j^$\hat{j}$. Jika kedua vektor tersebut adalah vektor yang sama, maka nilai x$x$ dan y$y$ adalah….

SOAL 8

Vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$, B⃗ $\overrightarrow{B}$, dan C⃗ $\overrightarrow{C}$ dinyatakan dalam basis i^$\hat{i}$, j^$\hat{j}$, dan k^$\hat{k}$ sebagai berikut.

• A⃗ =2i^+3j^+2k^$\overrightarrow{A}=2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$
• B⃗ =i^−j^+3k^$\overrightarrow{B}=\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$
• C⃗ =−3i^−2j^+k^$\overrightarrow{C}=-3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$

Nilai vektor A⃗ +2B⃗ +C⃗ $\overrightarrow{A}+2\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}$ yang dinyatakan dalam basis i^$\hat{i}$, j^$\hat{j}$, dan k^$\hat{k}$ adalah….

SOAL 10

Pernyataan yang tepat mengenai vektor A⃗ =⟨1,1⟩$\overrightarrow{A}=⟨1,1⟩$ dan B⃗ =⟨1,2⟩$\overrightarrow{B}=⟨1,2⟩$ adalah…

SOAL 10

Pernyataan yang tepat mengenai vektor A⃗ =⟨1,1⟩$\overrightarrow{A}=⟨1,1⟩$ dan B⃗ =⟨1,2⟩$\overrightarrow{B}=⟨1,2⟩$ adalah…

Share this post