Contoh Soal Ekspektasi variabel random untuk kejadian teoritis

Contoh Soal Ekspektasi variabel random untuk kejadian teoritis - Dalam bidang peluang teoritis, nilai harapan (disebut juga ekspektasi atau mean) dari sebuah variabel random adalah rata-rata tertimbang dari semua nilai variabel yang mungkin. Rata-rata diperoleh dengan menghitung peluang masing-masing kejadian akan terjadi.

Untuk menghitung peluang terjadinya suatu kejadian, kita membagi jumlah cara kejadian itu dapat terjadi dengan jumlah semua kemungkinan hasil yang ada.

Dalam istilah teknis, nilai harapan, E(X), sama dengan:

di mana x adalah jumlah kejadian di dalam ruang sampel Ω (yaitu semua kejadian yang mungkin terjadi), dan m(x) adalah fungsi distribusi (yaitu peluang suatu kejadian muncul).

Contoh 1

Misalkan kita melemparkan koin sebanyak tiga kali. Andaikan X sama dengan jumlah munculnya sisi gambar. Hitunglah nilai harapan dari X.

Ingat, nilai harapan dari kejadian tak tentu adalah jumlah dari semua kemungkinan yang ada dikalikan masing-masing peluang kejadian tersebut. Kejadian yang mungkin dari X adalah 0, 1, 2, dan 3. Dengan kata lain, lemparan tersebut dapat memunculkan 0 sisi gambar, 1 sisi gambar, 2 sisi gambar, atau semua 3 sisi gambar.

Peluang munculnya 0 sisi gambar adalah 1/8 .

Peluang munculnya 1 sisi gambar adalah 3/8.

Peluang munculnya 2 sisi gambar adalah 3/8.

Peluang munculnya 3 sisi gambar adalah 1/8.

(Untuk memperoleh peluang-peluang ini, kita dapat membuat daftar semua kejadian yang mungkin dari pelemparan sebuah koin sebanyak 3 kali/ ada 8 kemungkinan.)

Jadi, nilai harapan dari X sama dengan 0(1/8)+1(3/8)+2(3/8)+3(1/8) = 3/2.

Contoh 2

Ben ingin bermain judi, jadi dia menawari kita permainan seperti ini: Untuk bermain, kita harus melemparkan sebuah dadu dan membayar $2 setiap lemparan. Jika dari lemparan itu muncul angka 1, Ben akan membayar kita $5. Jika muncul angka genap (2, 4, atau 6), dia akan memberi kita $3. Jika tidak, kita tidak mendapatkan apa-apa. Haruskan kita memainkan permainan ini dengannya?

Kita akan mengalikan pembayaran yang diperoleh ($) dari masing-masing kemunculan angka dengan peluang masing-masing kejadian yang mungkin terjadi. Jumlah dari hasil perkaliannya adalah nilai harapan.

Ada enam kejadian yang mungkin, yaitu munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Peluang masing-masing kejadian adalah 1/6 . Pembayaran yang diperoleh adalah $5 untuk angka 1, $3 untuk angka 2, 4, atau 6, dan $0 untuk angka 3 atau 5.

Dengan demikian, nilai harapannya adalah: 5(1/6)+3(1/6)+ 3(1/6)+3(1/6)+0(1/6)+0(1/6)= 14/6 = 2.33… , jadi secara umum kita mempunyai harapan untuk menang $2.50 pada setiap kali lemparan. Jika kita hanya membayar $2 untuk setiap kali melempar, maka kesempatan untuk mendapatkan untung lebih besar. Jadi kalau kita senang berjudi, kita harus ikut bermain.

Contoh 3

Bill-Fold Company membutuhkan $5 untuk membuat sebuah dompet kanvas dan $12 untuk membuat sebuah dompet kulit. Dompet kanvas dijual $9 dan dompet kulit dijual $20. Perusahaan itu telah memperhitungkan bahwa sekitar 40% dari dompet yang terjual adalah dompet kanvas, dan 60% -nya dompet kulit. Berapakah keuntungan yang bisa mereka harapkan dari setiap dompet?

Pertama, hitunglah keuntungan penjualan dari setiap dompet. Keuntungan dari penjualan sebuah dompet kanvas adalah $4 sedangkan keuntungan dari penjualan sebuah dompet kulit adalah $8. Prosentase setiap jenis dompet yang terjual dapat dipandang sebagai peluang – peluang seseorang akan memberi dompet kanvas adalah 40%, atau 0.4, dan peluang seseorang akan membeli dompet kulit adalah 60%, atau 0.6. Keuntungan yang diharapkan adalah 0.4(4) + 0.6(8) = 6.4 , jadi keuntungan yang diharapkan dari setiap dompet adalah $6.40.

S1

Dalam sebuah permainan dadu, anda  membayar $2 per lemparan. Jika lemparan anda memunculkan angka 2, anda mendapatkan dua kali lipat dari uang anda. Jika dadu menunjukkan angka ganjil, anda tidak mendapat apapun. Untuk nilai yang lain, anda mendapat uang anda kembali. Berapakah nilai harapan keuntungan anda?
(tanda negatif berarti kerugian)

S2

Jika hujan, seorang penjual payung dapat memperoleh $50 per hari. Jika cerah, ia rugi $12 per hari. Berapakah nilai harapan pendapatan yang diperoleh penjual tersebut jika probabilitas hujan pada sebarang hari adalah 0,40?

S3

Anda diminta menjual dua produk buatan tangan, A dan B. Produk A berharga $100 sedangkan produk B berharga $130. Jika anda menjual salah satu produk, anda akan menerima 30% dari nilai produk A dan 25% dari nilai produk B. Pelanggan pertama memiliki probabilitas 0,2 untuk membeli produk A, probabilitas 0,3 untuk membeli produk B, dan probabilitas 0,5 untuk tidak membeli apapun. Berapakah pendapatan yang diharapkan dari pelanggan pertama?

S4

Dalam sebuah permainan komputer yang memiliki 4 level yang independen (anda dapat bermain level manapun yang anda mau) , anda mendapat 2000 poin jika menyelesaikan level 1 , 3000 poin jika menyelesaikan level 2, 4000 poin jika menyelesaikan level 3 dan 5000 poin jika menyelesaikan level 4. Diberikan probabilitas anda menyelesaikan level 1, 2, 3 dan 4 berturut-turut adalah 0,4, 0,3, 0,2 dan 0,1. Berapakah nilai harapan  total poin anda jika anda memainkan keempat level?

S5

Ada tiga tas yang masing-masing berisi 3 bola BIRU, 2 bola HIJAU, dan 5 bola MERAH. Anda harus memilih sebuah tas secara acak, mengambil sebuah bola, dan untuk pengambilan sebuah bola MERAH, anda akan mendapatkan $5, untuk sebuah bola HIJAU anda mendapatkan $2, dan untuk sebuah bola BIRU anda tidak mendapatkan apapun. Berapakah nilai harapan dari pendapatan anda?

S6

Dalam sebuah balapan, anjing pacuan anda, Legendary, memiliki probabilitas 1/10 untuk memenangi balapan, probabilitas 1/10 untuk peringkat kedua, dan probabilitas 1/5 untuk peringkat ketiga. Pemilik pacuan membayar $5,000 kepada pemenang, $3,000 untuk peringkat kedua,  dan $1,500 untuk peringkat ketiga. Apakah mengikuti perlombaan bermanfaat jika biayanya $1,500?

S7

Pabrik sepatu membutuhkan biaya $10 untuk membuat sepatu pria dan $7 untuk membuat sepatu wanita. Harga jual dari sepatu-sepatu ini berturut-turut adalah $35 dan $40. Diberikan rata-rata per hari, 35% pelanggan adalah pria dan 65% adalah wanita, berapakah keuntungan yang anda harapkan per pasang sepatu?

S8

Sebuah toko es krim memiliki tiga rasa es krim, yaitu stroberi, coklat dan vanila. Biaya pembuatan sebuah cone dengan salah satu rasa adalah
$1, tetapi harga per rasa berbeda. Cone stroberi berharga $2, cone coklat berharga $2,50 dan cone vanila $1,50. Diberikan bahwa vanila dan stroberi masing-masing terjual 30% dari total penjualan. Hitunglah keuntungan yang diharapkan!

S9

Ada dua permainan kartu dan anda harus memilih untuk memainkan salah satunya. Di permainan pertama, anda mengambil satu kartu dari sebuah tumpukan kartu lengkap. Untuk setiap kartu wajah (Jack, Queen or King) anda mendapat $13, untuk setiap angka 2-10 anda mendapat uang sesuai angka di kartu (dalam $), dan untuk As, anda mendapat $2. Di permainan kedua anda juga mengambil sebuah kartu dari tumpukan kartu lengkap. Untuk setiap angka 2-10 anda juga mendapat uang sesuai angka di kartu (dalam $), tetapi untuk Jack anda mendapat $10, untuk Queen anda mendapat $11, dan untuk King anda mendapat $12, dan untuk As anda mendapat $15.

Jika biaya mengikuti salah satu permainan adalah $8, manakah permainan yang memberi anda harapan keuntungan lebih besar? Apakah itu adil?

S10

Suatu perusahaan asuransi mengestimasikan menggunakan data sebelumnya bahwa 35% pemegang polis yang memiliki polis asuransi mobil akan memperbaharui polisnya pada tahun depan, dan 50% pemegang polis yang memiliki polis asuransi rumah juga akan memperbaharui polisnya pada tahun depan. Menurut estimasi, 80% pemegang polis yang memiliki polis asuransi rumah sekaligug mobil akan akan memperbaharui polisnya tahun depan. Diberikan bahwa 70% pemegang polis memiliki asuransi mobil, 47% dari mereka memiliki asuransi rumah, dan 17% memiliki keduanya. Hitunglah banyaknya pemegang polis yang akan memperbaharui setidaknya satu polis asuransi tahun depan jika diketahui perusahaan tersebut memiliki 250,000 pemegang polis.

Share this post