Menyelesaikan Masalah Matematika Keuangan

Menyelesaikan Masalah Matematika Keuangan - Pada waktu kelas X, kalian telah belajar tentang barisan dan deret aritmetika dan geometri.

Apakah kalian masih ingat dengan materi tersebut?

Dalam bidang bisnis dan ekonomi, konsep barisan dan deret sering digunakan untuk menganalisis berbagai kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan.

Contoh bentuk perkembangan dalam bidang bisnis dan ekonomi adalah jumlah produksi, biaya, pendapatan, besar gaji tenaga kerja, maupun besar penanaman modal untuk setiap periode. Nah, jika besarnya perkembangan dari waktu ke waktu bertambah secara konstan, maka masalah perkembangan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan barisan ataupun deret aritmetika.

Adapun dalam kasus pertumbuhan, jika besarnya pertumbuhan dari waktu ke waktu mempunyai perbandingan yang tetap (konstan), maka masalah pertumbuhan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan barisan ataupun deret geometri.

Dalam topik ini kalian akan belajar mengenai bagaimana cara menyelesaiakan masalah matematika keuangan dengan menggunakan konsep barisan dan deret aritmetika maupun geometri.

Yuk kita ingat kembali kedua materi teresbut.

Barisan dan Deret Aritmetika

Jika selisih antara dua suku yang berurutan pada suatu barisan besarnya konstan, maka barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika.

Nah, jika suku-suku dari barisan aritmetika dijumlahkan, maka akan terbentuk deret aritmetika.

Seperti yang telah kalian ketahui, rumus suku ke-n$n$ dari barisan aritmetika adalah Un=a+(n−1)b$U_n=a+(n-1)b$. Adapun rumus jumlah n$n$ suku pertama dari deret aritmetika adalah Sn=n2(a+Un)=n2(2a+(n−1)b)$S_n=\frac{n}{2}\left(a+U_n\right)=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right)$.

Dalam kedua rumus tersebut, a$a$ adalah suku pertama dan b$b$ adalah selisih/beda antar suku.

Nah, bagaimanakah rumus Un$U_n$ dan Sn$S_n$ dalam barisan dan deret geometri?

Barisan dan Deret Geometri

Pada barisan geometri, perbandingan atau rasio dari dua suku yang berurutan adalah konstan.

Nah, suku ke--n$n$ dari barisan geometri adalah Un=ar(n−1)$U_n=a{r}^{(n-1)}$. Adapun rumus jumlah n$n$suku pertama dari deret geometri adalah Sn=a(rn−1)r−1$S_n=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}$ atau Sn=a(1−rn)1−r$S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$.

Seperti yang kalian ketahui, a$a$ adalah suku pertama dan r$r$ adalah rasio antara dua suku yang berurutan.

Yuk kita cermati beberapa contoh berikut ini untuk memudahkan kalian dalam mengingat kembali materi di atas.

Contoh 1

Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Berkat penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksi genteng adalah konstan, berapakah jumlah genteng yang sudah dihasilkan selama 5 bulan?

Penyelesaian:

Oleh karena jumlah produksi genteng bertambah secara konstan setiap bulannya, maka permasalahan dalam contoh di atas merupakan permasalahan deret aritmetika.

Berdasarkan soal,

• a=3.000$a=3.000$
• b=500$b=500$
• n=5$n=5$

Dengan demikian,

SnS5=====n2(2a+(n−1)b)52×(2(3.000)+(5−1)500)52×(6.000+2.000)52×8.00020.000$\begin{array}{lll}{S}_n& =& \frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right)\\ S_5& =& \frac{5}{2}\times \left(2(3.000)+(5-1)500\right)\\ & =& \frac{5}{2}\times \left(6.000+2.000\right)\\ & =& \frac{5}{2}\times 8.000\\ & =& 20.000\end{array}$

Jadi, jumlah genteng yang sudah dihasilkan selama 5 bulan adalah 20.000 buah.

Contoh 2

Pada tahun kelima, besar pendapatan perusahaan Maju Mundur adalah Rp720.000.000,00. Adapun besar pendapatan pada tahun ketujuh adalah Rp980.000.000,00.

Apabila pendapatan perusahaan Maju Mundur setiap bulannya bertambah secara konstan, maka tentukan:

• besar pendapatan pada tahun pertama
• tahun ke-n$n$ saat pendapatan sebesar Rp460.000.000,00

Penyelesaian:

Oleh karena pendapatan perusahaan Maju Mundur setiap bulannya bertambah secara konstan, maka permasalahan di atas merupakan permasalahan barisan aritmetika.

Berdasarkan informasi dalam soal,

• U5=720.000.000⇔a+4b=720.000.000$U_5=\mathrm{720.000.000}\iff a+4b=\mathrm{720.000.000}$
• U7=980.000.000⇔a+6b=980.000$U_7=\mathrm{980.000.000}\iff a+6b=980.000$

Jika kita lakukan eliminasi dan subtitusi, maka akan kita peroleh a=200.000.000$a=\mathrm{200.000.000}$ dan b=130.000.000$b=\mathrm{130.000.000}$.

Jadi, besar pendapatan pada tahun pertama adalah Rp200.000.000,00.

Nah, untuk menentukan tahun ke-n$n$ saat pendapatan sebesar Rp460.000.000,00, maka kita perlu menentukan nilai n$n$ yang memenuhi Un=460.000.000$U_n=\mathrm{460.000.000}$.

Un=460.000.000⇔a+(n−1)b=460.000.000⇔200.000.000+(n−1)130.000.000=460.000.000⇔n−1=260130⇔n−1=2⇔n=3$\begin{array}{l}{U}_n=\mathrm{460.000.000}\\ \iff a+\left(n-1\right)b=\mathrm{460.000.000}\\ \iff \mathrm{200.000.000}+\left(n-1\right)\mathrm{130.000.000}=\mathrm{460.000.000}\\ \iff n-1=\frac{260}{130}\\ \iff n-1=2\\ \iff n=3\end{array}$

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa pendapatan perusahaan sebesar Rp460.000.000,00 dicapai pada tahun ke-3.

Contoh 3

Seorang pedagang membuka rekening tabungan di sebuah Bank. Pada awal menabung, ia menabung sebesar Rp100.000,00. Ternyata usahanya sukses sehingga setiap bulan ia dapat menabung 112$1\frac{1}{2}$ kali dari tabungan bulan sebelumnya. Berapakah jumlah tabungan pedagang tersebut setelah 1 tahun?

Penyelesaian:

Oleh karena perbandingan besar uang yang ditabungkan setiap bulannya adalah konstan, yaitu 112$1\frac{1}{2}$ kali dari tabungan bulan sebelumnya, maka permasalahan dalam soal adalah permasalahan deret geometri.

Berdasarkan informasi dalam soal,

• a=100.000$a=100.000$
• r=112=32$r=1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Dengan demikian,

SnS12====a(rn−1)r−1100.000(3212−1)32−1100.000(3212−1)128.583.089,19$\begin{array}{lll}{S}_n& =& \frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\\ {S_1}_2& =& \frac{100.000\left({\frac{3}{2}}^{12}-1\right)}{\frac{3}{2}-1}\\ & =\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{100.000\left({\frac{3}{2}}^{12}-1\right)}{\frac{1}{2}}\\ & =& \mathrm{8.583.089},19\end{array}$

Jadi, jumlah tabungan pedagang tersebut setelah 1 tahun adalah Rp8.583.089,19.

Mudah bukan?
Yuk kerjakan sepuluh latihan soal yang ada dalam topik ini untuk menguji pemahaman kalian.

Share this post