Menghitung Pertumbuhan

Menghitung Pertumbuhan - Apakah kalian masih ingat tentang materi barisan geometri?

Barisan geometri dapat diaplikasikan untuk menghitung masalah ekonomi keuangan seperti analisis laba dan rugi, pulang modal, dan bunga. Barisan geometri juga dapat diaplikasikan dalam perhitungan pertumbuhan dan peluruhan.

Menghitung Pertumbuhan

Nah, dalam topik kali ini, kita akan belajar tentang bagaimana cara menghitung pertumbuhan dengan memanfaatkan barisan geometri.

Konsep Dasar

Pernahkah kalian mendengar sistem pemasaran dengan model multilevel marketing?

Sistem pemasaran tersebut dikenal dengan istilah MLM. 
Dalam MLM, setiap anggota diwajibkan merekrut dua anggota.

Nah, bagaimanakah cara kerja dari sistem MLM ini?

Sebagai ilustrasi, jika kalian berhasil merekrut dua anggota, maka kedua anggota tersebut akan berada pada tingkat 1. Selanjutnya, jika kedua anggota pada tingkat 1 ini masing-masing berhasil merekrut dua anggota, maka keempat aggota dari tingkat 1 akan berada pada tingkat 2 dan anggota yang telah kalian miliki adalah 6 anggota. Nah, jika ternyata keempat anggota pada tingkat 2 masing-masing dapat merekrut 2 anggota, maka anggota pada tingkat 3 adalah sebanyak 8 orang dan anggota kalian mencapai 14 orang.

Berdasarkan ilustrasi mengenai sistem kerja MLM, dapat kita bentuk barisan bilangan sebagai berikut: 1, 2, 4, 8, ….

Apa yang dapat kalian simpulkan dari barisan bilangan di atas?

Ya, rasio antara dua suku yang berurutan adalah sama, yaitu 2. Dengan kata lain, barisan di atas adalah barisan geometri.

Apakah kalian masih ingat dengan rumus suku ke-n dari barisan geometri?

Ya, rumus suku ke-n$n$ dari barisan geometri adalah Un=ar(n−1)$U_n=a{r}^{(n-1)}$, dengan a$a$ adalah suku pertama dan r$r$ adalah rasio.

Berdasarkan rumus di atas, terlihat bahwa masalah pertumbuhan sebenarnya berkaitan dengan masalah bunga majemuk. Jika banyak populasi semula adalah P$P$, laju pertumbuhan adalah i$i$, dan banyak populasi setelah t$t$ periode adalah Pt$P_t$, maka berlaku hubungan berikut: Pt=P(1+i)t$P_t=P(1+i{)}^t$.

Apakah kalian sudah jelas dengan materi di atas?

Yuk kita perhatikan beberapa contoh berikut agar kalian semakin jelas.

Contoh 1:

Berdasarkan penelitian Biro Pusat Statistik, pertumbuhan penduduk di kota selalu meningkat 2 kali lipat dari tahun sebelumnya. Jika data sensus penduduk tahun 2001 menunjukkan bahwa banyaknya penduduk di kota tersebut adalah 3.000 jiwa, maka berapakah banyak penduduk di kota tersebut pada tahun 2010?

Penyelesaian:

Jika banyak penduduk pada tahun 2001 dimisalkan sebagai suku pertama barisan geometri, maka banyak penduduk pada tahun 2010 adalah suku ke-10.

Dengan demikian,

U10=ar9=3.000(29)=3.000(512)=1.536.000$U_{10}$

$=a{r}^9=3.000\left(2^9\right)=3.000\left(512\right)=\mathrm{1.536.000}$

Jadi, banyak penduduk di kota tersebut pada tahun 2010 adalah 1.536.000 jiwa.

Contoh 2:

Jumlah penduduk kota Sibiu pada tahun 2004 mencapai 2 juta jiwa. Bila jumlah penduduk di kota tersebut meningkat dengan laju pertumbuhan tetap setiap tahunnya, yaitu sebesar 2%, maka berapakah banyak penduduk pada tahun 2009?

Penyelesaian:

Berdasarkan informasi dalam soal, diketahui bahwa

• jumlah penduduk semula → P=2.000.000$P=\mathrm{2.000.000}$
• laju pertumbuhan → i=2%=0,02$i=2\text{\%}=0,02$ per tahun
• jangka waktu → t=2.009−2.004=5$t=2.009-2.004=5$ tahun

Dengan demikian,

Pt=P(1+i)t$P_t=P(1+i{)}^t$

P5=2.000.000(1+0,02)5=2.000.000(1,02)5=2.208.162$P_5$

$=\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,02\right)}^5=\mathrm{2.000.000}{\left(1,02\right)}^5=\mathrm{2.208.162}$

Jadi, banyak penduduk kota Sibiu pada tahun 2009 adalah 2.208.162 jiwa.

Contoh 3:

Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menunjukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri dalam waktu 2 jam. Jika pada awal kultur jaringan terdapat 1.000 bakteri, maka berapa banyak bakteri setelah 10 jam?

Penyelesaian:

Oleh karena bakteri membelah setiap 2 jam, maka dalam 10 jam sudah ada 5 periode pertumbuhan.

Jika banyak bakteri awal (t=0)$(t=0)$ dimisalkan sebagai suku pertama barisan geometri, maka banyak bakteri setelah 10 jam adalah suku ke-6.

Dengan demikian,

U6=ar5=1.000(25)=1.000(32)=32.000$U_6=a{r}^5=1.000\left(2^5\right)=1.000(32)=32.000$

Jadi, banyak bakteri setelah 10 jam adalah 32.000.

Materi di atas mudah dipahami bukan?
Yuk kerjakan latihan soal dalam topik ini.

Share this post