Determinan Matriks 1 x 1, Minor, dan Kofaktor Matriks 2 x 2

Determinan Matriks 1 x 1, Minor, dan Kofaktor Matriks 2 x 2 - Sewaktu kelas X dan kelas XI kemarin, kalian telah belajar tentang konsep matriks dan operasi aljabar pada matriks. Sebagaimana kalian ketahui sebelumnya, matriks adalah suatu susunan elemen-elemen (bilangan atau huruf) berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom serta ditempatkan dalam kurung biasa ( )atau kurung siku [ ].

Determinan Matriks 1 x 1, Minor, dan Kofaktor Matriks 2 x 2

Salah satu jenis matriks yang dipelajari adalah matriks persegi, yaitu matriks dengan banyak baris dan kolom sama.

Bentuk umum matriks berordo 1 x 1 adalah A=(a)$A=(a)$.

Bentuk umum matriks berordo 2 x 2 adalah A=(a11a21a12a22)$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$.

Bentuk umum matriks berordo 3 x 3 adalah A=⎛⎝⎜⎜a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎞⎠⎟⎟$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$.

Nah, dalam topik kali ini, kalian akan belajar menentukan determinan matriks berordo 1 x 1, minor matriks berordo 2 x 2, dan menentukan kofaktor dari matriks persegi berordo 2 x 2.

Determinan Matriks Berordo 1 x 1

Determinan matriks berordo 1 x 1 sama dengan besarnya elemen matriks tersebut.

Contoh 1:

Diketahui matriks matriks A = (8) dan B = (–5). Tentukan determinan matirks A dan determinan matriks B.

Penyelesaian:

Oleh karena determinan matriks berordo 1 x 1 sama dengan besarnya elemen matriks tersebut, maka determinan matriks A adalah det (A) = 8 dan determinan matriks Badalah det (B) = –5.

Minor Matriks Berordo 2 x 2

Minor dari elemen aij (baris ke-i dan kolom ke-j) dari matriks A=(a11a21a12a22)$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$disimbolkan dengan Mij. Lebih lanjut, Mij adalah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A.

Nah, berdasarkan definisi Mij, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

• minor a11 = M11 = | a22 | = a22
• minor a12 = M12 = | a21 | = a21
• minor a21 = M21 = | a12 | = a12
• minor a22 = M22 = | a11 | = a11

Contoh 2:

Diketahui matriks A=(3−9013 )$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -9& \frac{1}{3}\end{array}\right)$. Tentukan minor masing-masing elemen matriks A.

Penyelesaian:

Berdasarkan definisi minor, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

• minor a11 = M11 = | a22 | = 13$\frac{1}{3}$
• minor a12 = M12 = | a21 | = -9
• minor a21 = M21 = | a12 | = 0
• minor a22 = M22 = | a11 | = 3

Kofaktor Matriks Berordo 2 x 2

Kofaktor dari elemen aij (baris ke-i dan kolom ke-j) dari matriks A=(a11a21a12a22)$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$disimbolkan dengan Kij. Nah, untuk menentukan Kij, kita gunakan rumus berikut: Kij=(−1)i+jMij$K_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$.

Contoh 3:

Diketahui matriks A=(3−9013 )$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -9& \frac{1}{3}\end{array}\right)$. Tentukan kofaktor masing-masing elemen matriks A.

Penyelesaian:

Berdasarkan rumus kofaktor: K_ij=(−1)i+jM_ij$K\mathrm{\_}ij=(-1{)}^{i+j}M\mathrm{\_}ij$, kita peroleh hasil sebagai berikut:

• Kofaktor a11 = K11 = (−1)1+1M11=1×13=13${\left(-1\right)}^{1+1}{M}_{11}=1\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$
• Kofaktor a12 = K12 = (−1)1+2M12=(−1)×(−9)=9${\left(-1\right)}^{1+2}{M}_{12}=\left(-1\right)\times \left(-9\right)=9$
• Kofaktor a21 = K21 = (−1)2+1M21=(−1)×0=0${\left(-1\right)}^{2+1}{M}_{21}=\left(-1\right)\times 0=0$
• Kofaktor a22 = K22 = (−1)2+2M22=1×3=3${\left(-1\right)}^{2+2}{M}_{22}=1\times 3=3$

Contoh 4:

Diketahui matriks P=(10−27−3 )$P=\left(\begin{array}{cc}10& 7\\ -2& -3\end{array}\right)$ dan Q=(α11α12α21α22)$Q=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{21}\\ {\alpha }_{12}& {\alpha }_{22}\end{array}\right)$, dimana αij${\alpha }_{ij}$ adalah kofaktor elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks P. Tentukan matriks P – Q.

Penyelesaian:

Oleh karena rumus kofaktor dari elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks P adalahKij=(−1)i+jMij$K_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$, dengan Mij adalah minor elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks P, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

• Kofaktor p11 = α11=(−1)1+1M11=1×(−3)=−3${\alpha }_{11}=(-1{)}^{1+1}{M}_{11}=1\times (-3)=-3$
• Kofaktor p12 = α12=(−1)1+2M12=1×(−2)=2${\alpha }_{12}=(-1{)}^{1+2}{M}_{12}=1\times (-2)=2$
• Kofaktor p21 = α21=(−1)2+1M21=1×7=−7${\alpha }_{21}=(-1{)}^{2+1}{M}_{21}=1\times 7=-7$
• Kofaktor p22 = α22=(−1)1+1M22=1×10=10${\alpha }_{22}=(-1{)}^{1+1}{M}_{22}=1\times 10=10$

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa Q=(α11α12α21α22)$Q=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{21}\\ {\alpha }_{12}& {\alpha }_{22}\end{array}\right)$ =(−32−710 )$=\left(\begin{array}{cc}-3& -7\\ 2& 10\end{array}\right)$.

Dengan demikian,

P−Q===(10−27−3 )−(−32−710 )(10+3−2−27+7−3−10 )(13−414−13 ) $\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{lll}P-Q& =& \left(\begin{array}{cc}10& 7\\ -2& -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-3& -7\\ 2& 10\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}10+3& 7+7\\ -2-2& -3-10\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}13& 14\\ -4& -13\end{array}\right)\end{array}$

Ayo kerjakan latihan soal dalam topik ini untuk menguji pemahaman kalian.

Share this post