Sifat-Sifat Determinan Matriks 2 x 2

Sifat-Sifat Determinan Matriks 2 x 2 - Pada topik sebelumnya kalian telah belajar tentang bagaimana menentukan determinan matriks berordo 1 x 1 dan determinan matriks berordo 2 x 2.

Sifat-Sifat Determinan Matriks 2 x 2

Tentu kalian telah paham bukan?

Nah, kali ini kalian akan belajar mengenai sifat-sifat determinan matriks berordo 2 x 2.

Sifat 1: Determinan Transpos Suatu Matriks

Jika det (A) adalah determinan matriks A berordo 2 x 2 dan AT adalah transpose dari matriks A, maka det (AT) = det (A).

Bukti:

Jika dimisalkan A=(acbd )$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, maka AT $A^T$ =(abcd )$=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$ dan det (A) = ad – bc.

Dengan demikian, det (AT) = ad – bc = det (A).

Berdasarkan uraian di atas, terbukti bahwa det (AT) = det (A).

Sifat 2: Determinan Hasil Kali Matriks dengan Bilangan Real

Jika det (A) adalah determinan matriks A berordo 2 x 2 dan k adalah sebarang bilangan real, maka det (kA) = k2det (A).

Bukti:

Jika dimisalkan A=(acbd )$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, maka kA=(kakckbkd )$kA=\left(\begin{array}{cc}ka& kb\\ kc& kd\end{array}\right)$ dan det (A) = ad – bc.

Dengan demikian,

det(kA)$det\left(kA\right)$ =∣∣∣kakckbkd ∣∣∣$=\left|\begin{array}{cc}ka& kb\\ kc& kd\end{array}\right|$ =k2ad−k2bc$=k^{2}ad-k^{2}bc$ =k2(ad−bc)$=k^2\left(ad-bc\right)$ =k2det(A)$=k^{2}det\left(A\right)$

Berdasarkan uraian di atas, terbukti bahwa det (kA) = k2det (A).

Sifat 3: Determinan perkalian matriks

Jika A dan B adalah dua matriks berordo 2 x 2, dengan det (A) dan det (B) berturut-turut adalah determinan matriks A dan B, maka determinan hasil kali antara matriks A dan Badalah 
det (AB) = det (A) x det (B).

Bukti:

Jika dimisalkan A=(acbd )$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ dan B=(prqs )$B=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$, maka det (A) = ad – bc dan 
det (B) = ps – rq.

Adapun hasil kali antara matriks A dan B adalah

AB==(acbd )(prqs )(ap+brcp+draq+bscq+ds) $\begin{array}{lll}AB& =& \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}ap+br& aq+bs\\ cp+dr& cq+ds\end{array}\right)\end{array}$

Dengan demikian,

det(AB)=====∣∣∣ap+brcp+draq+bscq+ds∣∣∣apcq+apds+brcq+brds−cpaq−cpbs−draq−drbsadps+bcrq−bcps−adrq(ad−bc)(ps−rq)det(A)×det(B) $\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{lll}det\left(AB\right)& =& \left|\begin{array}{cc}ap+br& aq+bs\\ cp+dr& cq+ds\end{array}\right|\\ & =& apcq+apds+brcq+brds-cpaq-cpbs-draq-drbs\\ & =\end{array}$

$\begin{array}{l}adps+bcrq-bcps-adrq\\ & =& \left(ad-bc\right)\left(ps-rq\right)\\ & =& det\left(A\right)\times det\left(B\right)\end{array}$

Berdasarkan uraian di atas, terbukti bahwa det (AB) = det (A) x det (B).

Sifat 4: Hubungan antara matriks yang mempunyai invers dan determinannya

Misalkan A adalah matriks berordo 2 x 2. Jika A mempunyai invers, maka det (A) ≠ 0.

Bukti:

Jika dimisalkan matriks B adalah invers dari matriks A, maka AB = I2, dimana I2 adalah matriks identitas berordo 2 x 2 dan I2=(1001 )$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Berdasarkan sifat 1, kita peroleh hasil sebagai berikut:

det(A)×det(B)====det(AB)det(I2)∣∣∣1001∣∣∣1 $\begin{array}{lll}det\left(A\right)\times det\left(B\right)& =& det\left(AB\right)\\ & =& det\left(I_2\right)\\ & =& \left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|\\ & =& 1\end{array}$

Nah, karena hasil kali antara determinan matriks A dan B tidak sama dengan nol, maka determinan A maupun B tidak sama dengan nol.

Lebih lanjut, jika det (A) x det (B) ≠ 0 maka det (A) ≠ 0 dan det (B) ≠ 0. 
Dengan kata lain, jika det (A) = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers.

Agar lebih jelas, mari kita perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Diketahui matriks A=(−2−434 )$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -4& 4\end{array}\right)$ dan B=(31−3−2 )$B=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 1& -2\end{array}\right)$. 
Tentukan hubungan antara det (A), det (B), det (AB), dan det (BA).

Penyelesaian:

Sebelum menentukan hubungan antara det (A), det (B), det (AB), dan det (BA), kita perlu menentukan nilai dari masing-masing determinan tersebut.

Determinan matriks A adalah

det(A)===∣∣∣−2−434 ∣∣∣−8−(−12)4 $\begin{array}{lll}det\left(A\right)& =& \left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ -4& 4\end{array}\right|\\ & =& -8-\left(-12\right)\\ & =& 4\end{array}$

Determinan matriks B adalah

det(B)===∣∣∣31−3−2 ∣∣∣−6−(−3)−3 $\begin{array}{lll}det\left(B\right)& =& \left|\begin{array}{cc}3& -3\\ 1& -2\end{array}\right|\\ & =& -6-\left(-3\right)\\ & =& -3\end{array}$

Hasil kali matriks A dan B adalah

AB===(−2−434 )(31−3−2 )(−6+3−12+46−612−8 )(−3−804) $\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{lll}AB& =& \left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -4& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 1& -2\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}-6+3& 6-6\\ -12+4& 12-8\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ -8& 4\end{array}\right)\end{array}$

Determinan matriks AB adalah

det(AB)===∣∣∣−3−804 ∣∣∣−12−0−12 $\begin{array}{lll}det\left(AB\right)& =& \left|\begin{array}{cc}-3& 0\\ -8& 4\end{array}\right|\\ & =& -12-0\\ & =& -12\end{array}$

Hasil kali matriks B dan A adalah

BA===(31−3−2 )(−2−434 )(−6+12−2+89−123−8 )(66−3−5 ) $\begin{array}{lll}BA& =& \left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -4& 4\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}-6+12& 9-12\\ -2+8& 3-8\end{array}\right)\\ & =\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 6& -5\end{array}\right)\end{array}$

Determinan matriks BA adalah

det(BA)===∣∣∣66−3−5 ∣∣∣−30−(−18)−12 $\begin{array}{lll}det\left(BA\right)& =& \left|\begin{array}{cc}6& -3\\ 6& -5\end{array}\right|\\ & =& -30-\left(-18\right)\\ & =& -12\end{array}$

Berdasarkan nilai determinan dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa 
det (AB) = det (A) x det (B) =det (BA).

Contoh 2

Diketahui determinan matriks P adalah 5 dan determinan matriks Q adalah (–2). 
Tentukan determinan hasil kali martriks P dan Q.

Penyelesaian:

Oleh karena det (P) = 5 dan det (Q) = (–2), maka

det(PQ)===det(P)×det(Q)5×(−2)−10 $\begin{array}{lll}det\left(PQ\right)& =& det\left(P\right)\times det\left(Q\right)\\ & =& 5\times \left(-2\right)\\ & =& -10\end{array}$

Jadi, determinan hasil kali matriks P dan Q adalah –10.

Contoh 3

Diketahui matriks K dan matriks L dengan det (K) = –15 dan det (KL) = 45. Tentukan det (L).

Penyelesaian:

Oleh karena det (KL) = det (K) x det (L), maka

det(KL)⇔45⇔det(L)⇔det(L)====det(K)×det(L)−15×det(L)45−15−3 $\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{lll}det\left(KL\right)& =& det\left(K\right)\times det\left(L\right)\\ \iff 45& =& -15\times det\left(L\right)\\ \iff det\left(L\right)& =& \frac{45}{-15}\\ \iff det\left(L\right)& =& -3\end{array}$

Jadi, determinan matriks L adalah –3.

Nah, kalian sudah memperlajari materi di atas. Ayo kerjakan latihan soal dalam topik ini untuk menguji pemahaman kalian.

Share this post