Contoh Soal Theorema Faktor
Contoh Soal Theorema Faktor - Teorema Faktor menyatakan bahwa jika p(x) adalah sebuah polinomial dan a adalah sebuah bilangan maka (x-a) adalah sebuah faktor jika dan hanya jika p(a)=0.
Bukti: Hal ini jelas sekali berasal dari Teorema Sisa. Teorema sisa menyatakan jika p(x) adalah sebuah polinomial dan x-a adalah sebuah faktor dari p(x) maka sisanya ketika p(x) dibagi dengan x-a adalah p(a).
(Ini adalah sebuah pernyataan jika dan hanya jika kita perlu membuktikannya dalam kedua arah.)
(=>) Jika x-a adalah sebuah faktor dari p(x) maka kita tahu bahwa sisanya adalah 0. Tapi dari teorema sisa kita tahu bahwa p(a)=sisa maka p(a)=0.
(<=) Jika p(a)=0, kita akan melihat pada pembagian alogaritma untuk p(x). Yaitu, p(x)=d(x)q(x)+r(x), dimana d(x)=x-a karena kita ingin mengetahui tentang pembagian dengan x-a. Maka, p(x)=(x-a)q(x)+r. Tapi p(a)=0 menunjukkan bahwa r=0.
Sehingga, p(x)=(x-a)q(x), atau p(x) yang dapat dibagi dengan x-a.
Oleh karena itu, x-a adalah sebuah faktor dari p(x).
Contoh 1: Berapa faktor dari p(x)=x3-2x2-5x+6?
p(1)=(1)3-2(1)2-5(1)+6=0
p(3)=(3)3-2(3)2-5(3)+6=0
p(-2)= (-2)3-2(-2)2-5(-2)+6=0
Karena ini adalah polinomial derajat ketiga kita tahu bahwa paling banyak hanya ada 3 akar real.
Juga, teorema akar rasional dapat sangat berguna untuk persoalan-persoalan ini. Teorema akar rasional menyatakan bahwa akar-akar rasional yang mungkin ada adalah
+/-(p/q) dimana p adalah faktor dari koefisien di depan suku tertinggi) dan dimana q adalah faktor dari koefisien di depan konstanta.
Contoh 2: Berapa nilai dari k untuk p(x)= x2+kx-2 dimana (x+1) adalah sebuah faktor?
Karena x+1 adalah sebuah faktor, kita tahu bahwa p(-1)=0 dari teorema faktor. Maka,
p(-1)=(-1)2+k(-1)-2=0. Penyelesaian untuk k kita mendapatkan,
k=-1.
S1
Jika x − 2 adalah sebuah faktor dari p(x) = x3 − 2x2 + kx − 3, maka nilai dari k adalah:
S2
polinomial manakah yang mempunyai faktor x - 1?
S3
Seorang siswa menyelesaian beberapa polinomial dan perlu menemukan g(x) dengan faktor f(x).
Jika f(x) = x3 - 3x2 + 4x - 4 maka g(x) adalah:
S4
Produksi sebuah produk dalam pusat perakitan adalah f(x) =
x³ + 2ax + b. If x + 1 dan x - 1 adalah faktor dari f(x) maka nilai a dan b adalah:
x³ + 2ax + b. If x + 1 dan x - 1 adalah faktor dari f(x) maka nilai a dan b adalah:
S5
Jika 2x - 1 adalah faktor dari f(x) = 4x² + kx + 1, maka nilai dari k adalah
S6
Sebuah polinomial p(x) = x2 + 5x + 6 dibagi oleh sebuah faktor linear, menghasilkan sisa nol.
Jadi faktor linearnya adalah:
S7
Populasi dari spesies burung yang terancam punah bisa diumpamakan dengan model fungsi
f(x) = x3 - 5x2 + 6x - 8
dimana f(x) mewakili populasi burung tersebut dan x menunjukkan jumlah tahun.
Burungnya dianggap terancam punah di tahun 2012. Temukan di tahun berapakah spesiesnya punah jika model fungsinya akurat dan tidak ada perlindungan dilakukan.
Burungnya dianggap terancam punah di tahun 2012. Temukan di tahun berapakah spesiesnya punah jika model fungsinya akurat dan tidak ada perlindungan dilakukan.
S8
Diketahui -2 dan ⅓ adalah pembuat nol dari f(x) = 3x4 + 5x3 + x2 + 5x - 2. Fungsi f dalam bentuk perkalian faktor adalah ....
S9
Seorang peneliti mengamati kecepatan reaksi kimia. Kecepatannya tergantung pada katalis x. Dia membuat model kecepatan dalam persamaan kubik dengan variabel x: R(x) = x3 - 6x2 + 3x + 10. Dia ingin menemukan jumlah x yang akan menghentikan reaksinya. Jumlah yang dibutuhkan adalah:
S10
Polinomial p(x) mempunyai sisa 2 ketika dibagi dengan x - 1 dan sisa 3 ketika dibagi dengan
x - 2. Sisa ketika p(x) dibagi dengan (x - 1)(x - 2) adalah ax + b,
. p(x) dapat ditulis dengan p(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b.
x - 2. Sisa ketika p(x) dibagi dengan (x - 1)(x - 2) adalah ax + b,
. p(x) dapat ditulis dengan p(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b.
Misal p(x) adalah sebuah polinomial kubik dengan koefisien x3 1, dan -1 adalah solusi dari persamaan p(x) = 0, maka p(x) adalah: