Contoh Soal Rumus Jumlah dan Selisih Kosinus

Contoh Soal Rumus Jumlah dan Selisih Kosinus - Untuk mendapatkan rumus jumlah dan selisih kosinus, kita dapat menggunakan hasil penjabaran dari penjumlahan dan pengurangan rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut. Penjabaran yang dimaksud adalah sebagai berikut.

Apabila kita menjumlahkan rumus kosinus jumlah dengan rumus kosinus selisih dua sudut akan kita peroleh,

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+$\underset{\_}{\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }+$
cos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ$\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta$ ................ persamaan (i)

Kemudian, apabila kita mengurangkan rumus kosinus jumlah dengan rumus kosinus selisih dua sudut akan kita peroleh,

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−$\underset{\_}{\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }-$
cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαcosβ$\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )=-2\sin \alpha \cos \beta$ ................. persamaan (ii)

Nah, dari kedua persamaan terakhir ini (i dan ii) dapat kita tentukan rumus jumlah dan selisih kosinus namun dengan sedikit modifikasi lanjutan.

Rumus Jumlah dan Selisih Kosinus

Untuk memodifikasi kedua persamaan terakhir yang telah kita peroleh (i dan ii), sekarang kita misalkan,

x=(α+β)$x=(\alpha +\beta )$ dan y=(α−β)$y=(\alpha -\beta )$

Perhatikan bahwa, dengan menjumlahkan kedua pemisalan ini akan kita peroleh,

x=(α+β)$x=(\alpha +\beta )$
y=(α−β)−−−−−−−−−+$\underset{\_}{y=(\alpha -\beta )}+$
x+y=2α$x+y=2\alpha$

dengan kata lain kita peroleh, 

α=12(x+y)$\alpha =\frac{1}{2}(x+y)$

Selanjutnya, dengan mengurangkan kedua pemisalan ini akan kita peroleh,

x=(α+β)$x=(\alpha +\beta )$
y=(α−β)−−−−−−−−−−$\underset{\_}{y=(\alpha -\beta )}-$
x−y=2β$x-y=2\beta$

dengan kata lain kita peroleh,

β=12(x−y)$\beta =\frac{1}{2}(x-y)$

$$

Sekarang, perhatikan bahwa dengan mensubstitusikan kedua pemisalan ini kedalam dua persamaan sebelumnya (i dan ii), akan kita peroleh rumus jumlah dan selisih kosinus yang kita kehendaki.

cos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ$\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta$
cosx+cosy=2cos12(x+y)cos12(x−y)$\cos x+\cos y=2\cos \frac{1}{2}(x+y)\cos \frac{1}{2}(x-y)$

Dengan langkah yang sama akan kita peroleh,

cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ$\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )=-2\sin \alpha \sin \beta$
cos(x)−cos(y)=−2sin12(x+y)sin12(x−y)$\cos (x)-\cos (y)=-2\sin \frac{1}{2}(x+y)\sin \frac{1}{2}(x-y)$

Jadi, telah kita temukan rumus jumlah dan selisih sinus sebagai berikut.

cosx+cosy=2cos12(x+y)cos12(x−y)$\cos x+\cos y=2\cos \frac{1}{2}(x+y)\cos \frac{1}{2}(x-y)$
cosx−cosy=−2sin12(x+y)sin12(x−y)$\cos x-\cos y=-2\sin \frac{1}{2}(x+y)\sin \frac{1}{2}(x-y)$

Perhatikan bahwa, x,y,α,β$x,y,\alpha ,\beta$ hanya sekedar variabel yang dapat kita ganti dengan simbol apa saja. Dengan alasan keseragaman, rumus jumlah dan selisih kosinus dapat kita nyatakan ulang sebagai,

SOAL 1

Penjumlahan cos75∘+cos15∘$\cos {75}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }$ setara dengan….

SOAL 2

Pernyataan yang tepat untuk cosr+coss$\cos r+\cos s$adalah….

SOAL 3

Nilai dari cos105∘+cos15∘$\cos {105}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }$ adalah….

SOAL 4

Pernyataan yang benar untuk cosp−cosq$\cos p-\cos q$adalah….

SOAL 5

Nilai dari cos75∘−cos15∘$\cos {75}^{\circ }-\cos {15}^{\circ }$ adalah….

SOAL 6

Tanpa menghitung secara langsung, nilai daricos15∘−cos35∘$\cos {15}^{\circ }-\cos {35}^{\circ }$ akan berupa bilangan…

SOAL 7

Persamaan yang terbentuk dari cos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ$\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta$apabila nilai β=α$\beta =\alpha$ adalah ….

SOAL 8

Bentuk perkalian dari cos5a+cosa$\cos 5a+\cos a$ adalah….

SOAL 9

Apabila dinyatakan dalam perkalian, cos8x−cos2x$\cos 8x-\cos 2x$ akan berupa….

SOAL 10

Bentuk cos7x+cos6x−cos5x−cos4x$\cos 7x+\cos 6x-\cos 5x-\cos 4x$dapat disederhanakan menjadi….

Share this post