Contoh Soal Rumus Jumlah dan Selisih Sinus

Contoh Soal Rumus Jumlah dan Selisih Sinus - Apakah kalian masih ingat dengan bentuk sin (α + β) dan sin (α - β)? Ya, bentuk tersebut adalah sinus jumlah dan selisih dua sudut. Sebelum mempelajari topik ini, kalian sudah harus menguasai bentuk yang setara dari keduanya. Oleh karena itu, mari kita ingat kembali.

                                          

       Misalkan α dan β adalah sebuah sudut. Jumlah dan selisih sinus dari kedua sudut tersebut dapat dinyatakan dengan sin α + sin β dan sin α - sin β. Bentuk yang setara dari keduanya dinamakan dengan rumus jumlah dan selisih sinus. Bagaimana cara menentukan rumusnya? Mari kita pelajari bersama.

► Bentuk Jumlah dan Selisih dari Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut ◄

Untuk menentukan rumus jumlah dan selisih sinus, lakukan dahulu penjumlahan dan pengurangan pada rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut seperti berikut.

Penjumlahan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβsin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ...(i)+$\frac{\begin{array}{l}\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \end{array}}{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta ...(\mathrm{i})}+$

Pengurangan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβsin(α+β)−sin(α−β)=2cosαsinβ...(ii)−$\frac{\begin{array}{l}\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \end{array}}{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \sin \beta ...(\mathrm{i}\mathrm{i})}-$

Dari persamaan (i) dan (ii) inilah rumus jumlah dan selisih sinus dapat ditentukan.

► Rumus jumlah dan selisih sinus ◄

Dari pembahasan sebelumnya, diperoleh:

sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α cos β ... (i)

sin (α + β) - sin (α - β) = 2 cos α sin β ... (ii)

Misalkan x = α + β dan y = α - β. Dengan menjumlahkan kedua pemisalan ini, kita peroleh:

x=α+βy=α−βx+y=2α+$\frac{\begin{array}{l}x=\alpha +\beta \\ y=\alpha -\beta \end{array}}{x+y=2\alpha }+$

dengan kata lain, kita peroleh α=12(x+y)$\alpha =\frac{1}{2}(x+y)$ .

Selanjutnya, dengan mengurangkan kedua pemisalan tersebut, kita peroleh:

x=α+βy=α−βx−y=2β−$\frac{\begin{array}{l}x=\alpha +\beta \\ y=\alpha -\beta \end{array}}{x-y=2\beta }-$

dengan kata lain, kita peroleh β=12(x−y)$\beta =\frac{1}{2}(x-y)$.

Sekarang, substitusikan nilai α dan β ke persamaan (i) dan (ii).

Persamaan (i)

sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ⇔sinx+siny=2sin12(x+y)cos12(x−y)$\begin{array}{l}\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta \\ \iff \sin x+\sin y=2\sin \frac{1}{2}(x+y)\cos \frac{1}{2}(x-y)\end{array}$

Persamaan (ii)

sin(α+β)−sin(α−β)=2cosαsinβ⇔sinx−siny=2cos12(x+y)sin12(x−y)$\begin{array}{l}\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \sin \beta \\ \iff \sin x-\sin y=2\cos \frac{1}{2}(x+y)\sin \frac{1}{2}(x-y)\end{array}$

Dari hasil substitusi di atas, kita dapatkan rumus jumlah dan selisih sinus sebagai berikut.

sinx+siny=2sin12(x+y)cos12(x−y)sinx−siny=2cos12(x+y)sin12(x−y)$\begin{array}{l}\sin x+\sin y=2\sin \frac{1}{2}(x+y)\cos \frac{1}{2}(x-y)\\ \sin x-\sin y=2\cos \frac{1}{2}(x+y)\sin \frac{1}{2}(x-y)\end{array}$

Perhatikan bahwa x, y, α, dan β adalah variabel yang dapat kita ganti dengan simbol apa saja. Dengan demikian, rumus jumlah dan selisih sinus dapat kita nyatakan ulang sebagai berikut.

                               

Rumus ini terkesan rumit, namun perhatikan bahwa hanya terjadi perubahan posisi fungsi sinus dan kosinus saat kita menjumlahkan atau mengurangkannya. Untuk menghafal dengan mudah kedua rumus ini, kita dapat memanfaatkan jembatan keledai berikut.

            

Kalian dapat membuat sendiri jembatan keledai yang kalian anggap lebih mudah untuk diingat. Ayo kalian coba.

SOAL 1

Hasil penjumlahan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut adalah ….

SOAL 2

Bentuk setara dari sinx+siny$\sin x+\sin y$ adalah ….

SOAL 3

Bentuk cos12(x+y)sin12(x−y)$\cos \frac{1}{2}(x+y)\sin \frac{1}{2}(x-y)$ setara dengan bentuk ….

SOAL 4

Bentuk setara dari sinx−siny$\sin x-\sin y$ adalah ….

SOAL 5

Nilai dari sin75∘−sin15∘$\sin {75}^{\circ }-\sin {15}^{\circ }$ adalah….

SOAL 6

Nilai dari sin105∘+sin15∘$\sin {105}^{\circ }+\sin {15}^{\circ }$ adalah…

SOAL 7

Bentuk perkalian dari sin3x+sinx$\sin 3x+\sin x$ adalah ….

SOAL 8

Bentuk perkalian dari sin4x−sin2x$\sin 4x-\sin 2x$ adalah …

SOAL 9

Bentuk setara dari sin7x+sin6x−sin5x−sin4x$\sin 7x+\sin 6x-\sin 5x-\sin 4x$ adalah ….

SOAL 10

Apabila sinα+sinβ=2$\sin \alpha +\sin \beta =2$ dan cos12(α−β)=2–√$\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )=\sqrt{2}$, maka nilai dari sin12(α+β)$\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )$ adalah ….

Share this post