Contoh Soal Rumus Jumlah dan Selisih Tangen

Contoh Soal Rumus Jumlah dan Selisih Tangen - Untuk mendapatkan rumus jumlah tangen, kita harus menentukan bentuk yang bersesuaian dengan pernyataan tan α + tan β. Seperti yang kita ketahui, untuk sebarang sudut x fungsi tangen dapat didefinisikan sebagai:

tanx=sinxcosx$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Oleh karena itu, pernyataan yang bersesuaian dengan tan α + tan β dapat kita tentukan dengan langkah sebagai berikut.

tanα+tanβ=sinαcosα+sinβcosβ=sinαcosαcosβcosβ+sinβcosβcosαcosα=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ$\begin{array}{ll}\tan \alpha +\tan \beta & =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\sin \beta }{\cos \beta }\\ & =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\frac{\cos \beta }{\cos \beta }+\frac{\sin \beta }{\cos \beta }\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }\\ & =\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }\\ & =\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }\end{array}$

Ingat kembali bahwa, sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sehingga baris terakhir persamaan di atas dapat kita tulis sebagai:

tanα+tanβ=sin(α+β)cosαcosβ$\tan \alpha +\tan \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }$

Bentuk ini sudah cukup sederhana dan sudah dapat digunakan dalam perhitungan, namun kita masih dapat melakukan sedikit pengembangan dengan memperhatikan bahwa 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α - β), sehingga kita peroleh:

tanα+tanβ=sin(α+β)cosαcosβ=2sin(α+β)2cosαcosβ=2sin(α+β)cos(α+β)+cos(α−β)$\begin{array}{ll}\tan \alpha +\tan \beta & =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ & =\frac{2\sin (\alpha +\beta )}{2\cos \alpha \cos \beta }\\ & =\frac{2\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )}\end{array}$

Jadi, rumus jumlah tangen adalah sebagai berikut.

🔢 Rumus Selisih Tangen

Selanjutnya, untuk mendapatkan rumus selisih tangen, kita harus menentukan bentuk yang bersesuaian dengan pernyataan tan α - tan β. Dengan prinsip yang sama dengan sebelumnya, pernyataan yang bersesuaian dengan tan α - tan β dapat kita tentukan sebagai berikut.

tanα−tanβ=sinαcosα−sinβcosβ=sinαcosαcosβcosβ−sinβcosβcosαcosα=sinαcosβcosαcosβ−cosαsinβcosαcosβ=sinαcosβ−cosαsinβcosαcosβ$\begin{array}{ll}\tan \alpha -\tan \beta & =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\sin \beta }{\cos \beta }\\ & =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\frac{\cos \beta }{\cos \beta }-\frac{\sin \beta }{\cos \beta }\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }\\ & =\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }-\frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }\\ & =\frac{\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }\end{array}$

Ingat kembali bahwa, sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β, sehingga baris terakhir persamaan di atas dapat kita tulis sebagai:

tanα−tanβ=sin(α−β)cosαcosβ$\tan \alpha -\tan \beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }$

Perhatikan bahwa 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α - β), sehingga persamaan di atas dapat kita tuliskan menjadi:

tanα−tanβ=sin(α−β)cosαcosβ=2sin(α−β)2cosαcosβ=2sin(α−β)cos(α+β)+cos(α−β)$\begin{array}{ll}\tan \alpha -\tan \beta & =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ & =\frac{2\sin (\alpha -\beta )}{2\cos \alpha \cos \beta }\\ & =\frac{2\sin (\alpha -\beta )}{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )}\end{array}$

Jadi, rumus selisih tangen adalah:

SOAL 1

Nilai dari tan 75° + tan 15° adalah….

SOAL 2

Nilai dari tan 97,5° + tan 37,5° adalah …

SOAL 3

Nilai dari tan 37,5° + tan 82,5° adalah ….

SOAL 4

Bentuk lain dari tan 4x + tan 2x berdasarkan rumus jumlah tangen adalah …

SOAL 5

Nilai dari tan 37,5° - tan 7,5° adalah ….

SOAL 6

Nilai dari tan 142,5° - tan 7,5° adalah ….

SOAL 7

Nilai dari tan 45° - tan 225° adalah …

SOAL 8

Bentuk lain dari tan 9y - tan 3y berdasarkan rumus selisih tangen adalah ….

SOAL 9

Jika a merupakan sudut pada kuadran pertama, maka bentuk yang setara dengan tan a - tan 2a adalah ….

SOAL 10

Jika diketahui cosα=12√$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ dan cosβ=15√$\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{5}}$dengan α, β sudut di kuadran pertama, maka nilai dari tan α + tan β adalah ....

Share this post