Contoh Soal Proyeksi Vektor

Contoh Soal Proyeksi Vektor - Apakah kalian pernah menggunakan atau hanya sekadar melihat alat proyeksi yang biasa disebut proyektor?

        Alat proyeksi merupakan alat yang biasa digunakan untuk mempresentasikan ide dan memperjelas informasi yang hendak disampaikan. Kemampuan alat ini untuk menampilkan gambar pada layar membuat komunikasi lebih efektif dan efisien. Alat-alat proyeksi juga telah mengalami perkembangan mulai dari mesin yang menggunakan lampu dan cermin hingga mesin canggih yang didukung dengan perangkat elektronik yang terhubung dengan komputer. Tahukah kalian bahwa, dalam vektor juga dikenal proyeksi, yaitu proyeksi vektor. Bagaimanakah proyeksi pada vektor? Untuk mengetahui jawabannya, mari simak topik ini dengan saksama.

Misalkan terdapat vektor 

A⃗ $\overrightarrow{A}$ yang hendak diproyeksikan pada vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ dengan sudut antara kedua vektor tersebut adalah θ. Proyeksi vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ pada vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ dilakukan dengan menarik garis pada ujung vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ tegak lurus vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ sehingga diperoleh vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi berikut.

        Lantas, bagaimana cara menentukan panjang dan komponen dari vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$? Untuk menentukan panjang dan komponennya, perhatikan kembali gambar di atas.

Pada segitiga AOC, diketahui:

cosθ=∣∣∣C→∣∣∣∣∣∣A→∣∣∣⇒∣∣∣C→∣∣∣=∣∣∣A→∣∣∣cosθ$\cos \theta =\frac{\left|\overrightarrow{C}\right|}{\left|\overrightarrow{A}\right|}\Rightarrow \left|\overrightarrow{C}\right|=\left|\overrightarrow{A}\right|\cos \theta$

Ingat bahwa, perkalian skalar antara vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ dan B⃗ $\overrightarrow{B}$ adalah:

A→⋅B→=∣∣∣A→∣∣∣∣∣∣B→∣∣∣cosθ⇒cosθ=A→⋅B→∣∣∣A→∣∣∣∣∣∣B→∣∣∣$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\left|\overrightarrow{A}\right|\left|\overrightarrow{B}\right|\cos \theta \Rightarrow \cos \theta =\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{A}\right|\left|\overrightarrow{B}\right|}$

Dengan menggabungkan kedua hasil tersebut di atas, kita dapat menentukan panjang dari vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$, yaitu:

∣∣∣C→∣∣∣=∣∣∣A→∣∣∣cosθ⇔∣∣∣C→∣∣∣=∣∣∣A→∣∣∣A→⋅B→∣∣∣A→∣∣∣∣∣∣B→∣∣∣⇔∣∣∣C→∣∣∣=A→⋅B→∣∣∣B→∣∣∣$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{C}\right|=\left|\overrightarrow{A}\right|\cos \theta \\ \iff \left|\overrightarrow{C}\right|=\left|\overrightarrow{A}\right|\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{A}\right|\left|\overrightarrow{B}\right|}\\ \iff \left|\overrightarrow{C}\right|=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{B}\right|}\end{array}$

Pertanyaan selanjutnya yang muncul adalah bagaimana cara menentukan komponen dari vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ tersebut? Untuk mengetahuinya, coba perhatikan kembali ilustrasi di atas.

Vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ merupakan bagian dari vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$. Dengan demikian, komponen vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ dapat kita tentukan dengan memanfaatkan komponen vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$. Dengan kata lain, kita cukup mencari vektor unit (vektor satuan) dari vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$. Setelah itu, mengalikannya dengan panjang vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$.

Seperti yang kita ketahui, vektor unit dari vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ adalah:

B⌢=B→∣∣∣B→∣∣∣$\stackrel{⌢}{B}=\frac{\overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{B}\right|}$

Dengan demikian, komponen vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ dapat ditentukan dengan rumus berikut.

C→=B⌢∣∣∣C→∣∣∣⇔C→=B→∣∣∣B→∣∣∣A→⋅B→∣∣∣B→∣∣∣⇔C→=A→⋅B→∣∣∣B→∣∣∣2B→$\begin{array}{l}\overrightarrow{C}=\stackrel{⌢}{B}\left|\overrightarrow{C}\right|\\ \iff \overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{B}\right|}\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{B}\right|}\\ \iff \overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{{\left|\overrightarrow{B}\right|}^2}\overrightarrow{B}\end{array}$

Nah, bagaimana jika proyeksi dilakukan dari vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ pada vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ seperti ilustrasi di bawah ini?

Untuk menentukan proyeksi vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ pada vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$, kita dapat menggunakan langkah yang sama dengan sebelumnya. Panjang dari vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ adalah:

∣∣∣C→∣∣∣=∣∣∣B→∣∣∣cosθ$\left|\overrightarrow{C}\right|=\left|\overrightarrow{B}\right|\cos \theta$

Vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ adalah:

C→=A→⋅B→∣∣∣A→∣∣∣2A→$\overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{{\left|\overrightarrow{A}\right|}^2}\overrightarrow{A}$

Dalam beberapa buku, istilah proyeksi skalar dan proyeksi orthogonal digunakan secara berturut-turut untuk menyatakan panjang vektor proyeksi dan vektor proyeksi. Adapun perbedaan mendasar dari kedua proyeksi ini dirangkum dalam tabel berikut:

SOAL 1

Perhatikan gambar vektor-vektor berikut.

Apabila kelima vektor lain diproyeksikan pada vektor V⃗ $\overrightarrow{V}$, maka vektor proyeksi dengan panjang minimal akan dihasilkan oleh vektor ….

SOAL 2

Perhatikan pasangan vektor berikut.

Pernyataan yang paling tepat terkait dengan proyeksi vektor pada tiap pasang vektor tersebut adalah….

SOAL 3

Proyeksi vektor A⃗ =⟨4,2⟩$\overrightarrow{A}=⟨4,2⟩$ pada vektor B⃗ =⟨2,1⟩$\overrightarrow{B}=⟨2,1⟩$ akan menghasilkan vektor…

SOAL 4

Sebuah vektor A⃗ =⟨−2,4⟩$\overrightarrow{A}=⟨-2,4⟩$ diproyeksikan pada vektor B⃗ =⟨3,−1⟩$\overrightarrow{B}=⟨3,-1⟩$ . Panjang proyeksi vektor yang dihasilkan adalah….

SOAL 5

Vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ dan B⃗ $\overrightarrow{B}$ memiliki panjang masing-masing 4 satuan dan 3 satuan. Jika sudut di antara kedua vektor tersebut sebesar 60°, maka panjang proyeksi vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ pada vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$adalah….

SOAL 6

Diketahui vektor A⃗ =⟨1,1,1⟩$\overrightarrow{A}=⟨1,1,1⟩$ dan B⃗ =⟨1,2,3⟩$\overrightarrow{B}=⟨1,2,3⟩$. Hasil proyeksi vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ pada vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ adalah….

SOAL 7

Vektor T⃗ $\overrightarrow{T}$ dan U⃗ $\overrightarrow{U}$ merupakan dua vektor yang saling tegak lurus. Hasil proyeksi vektor T⃗ $\overrightarrow{T}$ pada vektor U⃗ $\overrightarrow{U}$ akan berupa….

SOAL 8

Diketahui panjang proyeksi vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ pada vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ adalah 1 satuan. Jika komponen dari vektor B⃗ =⟨3,4⟩$\overrightarrow{B}=⟨3,4⟩$, maka komponen hasil proyeksi vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ pada vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ adalah….

SOAL 9

Vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ dan B⃗ $\overrightarrow{B}$ merupakan vektor-vektor yang saling sejajar. Proyeksi vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ ke vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$akan berupa vektor….

SOAL 10

Sebuah vektor X⃗ $\overrightarrow{X}$ diproyeksikan ke vektor Y⃗ =⟨3,1⟩$\overrightarrow{Y}=⟨3,1⟩$ menghasilkan vektor Z⃗ =⟨3310,1110⟩$\overrightarrow{Z}=⟨\frac{33}{10},\frac{11}{10}⟩$. Vektor X⃗ $\overrightarrow{X}$ yang dimaksud adalah….

Share this post