Contoh Soal Nilai fungsi dan nilai akar-akar persamaan aljabar

Contoh Soal Nilai fungsi dan nilai akar-akar persamaan aljabar - Pada topik ini kalian akan belajar tentang penerapan konsep dan sifat turunan fungsi dalam menentukan nilai fungsi dan akar-akar persamaan aljabar.

Salah satu dari terapan konsep turunan fungsi yang berkaitan dengan nilai fungsi dan akar-akar persamaan aljabar adalah tentang gerak rektilinear. Gerak rektilinear adalah gerakan sebuah partikel di sepanjang garis lurus. Persamaan gerak sebuah partikel dinyatakan dengan s = f (t) , dimana

• s adalah panjang lintasan atau jarak (dalam satuan panjang)
• t adalah waktu (dalam satuan waktu)

Macam-macam gerak rektilinear antara lain :

• Kecepatan dan laju
• Percepatan

Kecepatan v(t) pada saat waktu t adalah

Kecepatan gerak sebuah partikel merupakan turunan pertama dari panjang lintasan terhadap waktu.

Percepatan v(t) pada saat waktu t adalah

Percepatan gerak partikel merupakan turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu atau turunan kedua dari panjang lintasan terhadap waktu. Selain dalam gerak rektilinear, konsep turunan dapat juga digunakan dalam menentukan laju perubahan luas terhadap panjang sisi atau jari-jari, laju perubahan volume terhadap panjang sisi atau jari-jari.

Agar lebih jelas, mari kita perhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh 1:

Sebuah partikel bergerak sepanjang lintasan dengan posisi memenuhi persamaan 
s = f(t) = t2 – 4t + 3, t ≥ 0, dengan s dalam meter dan t dalam detik.

a) Tentukan kecepatan gerak partikel pada saat t = 3 detik.
b) Tentukan percepatan gerak partikel

Penyelesaian :

Kecepatan gerak partikel pada saat t detik dapat ditentukan dengan cara berikut :

Berdasarkan uraian di atas, kecepatan gerak partikel pada saat t = 3 detik adalah
v(3) = 2(3) – 4 = 2. Dengan kata lain, kecepatan pada saat t = 3 detik adalah 2 m/det.

Selanjutnya, karena percepatan merupakan turunan pertama dari kecepatan, maka
a(t) = v’(t) = 2. Dengan demikian, percepatan gerak partikel dalam kasusu ini adalah konstan, yaitu 2 m/det2

Contoh 2 :

Sebuah partikel bergerak di sepanjang suatu garis lurus dengan persamaan 
s = f(t) = 2t3 – 9t2 + 12t – 1. Tentukan waktu dimana pertikel berhenti, dan kemudian bergerak lagi!

Penyelesaian :

Karena kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi jarak, maka

v(t) = f’(t) 
<=> v(t) = 6t2 – 18t + 12

Karena partikel berhenti kemudian bergerak lagi bila kecepatan nol, maka

v(t) = 0
<=> 6t2 – 18t + 12 = 0
<=> t2 – 3t + 2 = 0
<=> (t – 1)(t – 2) = 0
<=> t = 1 atau t = 2

Jadi, partikel berhenti kemudian bergerak lagi pada waktu t = 1 atau t = 2.

S1

Posisi sebuah benda setelah t detik adalah 
s = f(t) = 3t2 + 1, dengan s adalah jarak dalam meter dan t adalah waktu dalam detik. Kecepatan rata-rata pada interval 2 ≤ t ≤ 3 adalah ….

S2

Jika jari-jari bola berubah dari 3 dm menjadi 4 dm, laju perubahan rata-rata volume bola adalah ….

S3

Gerak partikel dalam lintasan garis lurus ditentukan dengan persamaan s = f(t) = t2 – 5t, dengan s dalam meter dan t dalam detik. Kecepatan sesaat pada waktu 
t = 4 detik adalah ….

S4

Gerak suatu benda dalam suatu lintasan ditentukan oleh s = f(t) = 3t2 – 6t, dengan s dalam km dan t dalam jam. Percepatan sesaat pada waktu t = 3 jam adalah … km/jam2

S5

Sebuah silinder memiliki tinggi t dan jari-jari alas r. 
Jika t = 5r, maka laju perubahan luas permukaan L terhadap jari-jari r pada saat r = 4 dm adalah ….

S6

Sebuah bola memiliki jari-jari r. Laju perubahan luas permukaan bola pada saat r = 5 cm adalah ….

S7

Sebuah silinder memiliki tinggi t dan jari-jari r. Jika t = 6r, maka laju perubahan volum silinder V terhadap jari-jari r pada saat r = 5 cm adalah ….

S8

Sebutir peluru ditembakkan tegak lurus ke atas dari permukaan tanah dan pada saat t detik (t ≥ 0) tingginya adalah s = f(t) = 60t – 5t2 m di atas permukaan tanah. Pada saat kecepatan mencapai 40 m/det, waktu yang dibutuhkan adalah … detik.

S9

Dua buah partikel bergerak sepanjang garis lurus yang berbeda, dengan persamaan gerak masing-masing partikel adalah

• s1 = t2 + 5t – 2
• s2 = t3 – 3t2 + 2t

dengan s adalah jarak dalam meter, t adalah waktu dalam detik dan t ≥ 0.

Kecepatan kedua partikel akan sama pada saat … detik.

S10

Sebuah balon bundar berbentuk bola dipompa, kecepatan perubahan luas permukaan bola terhadap jari-jari r adalah 64π cm2 maka nilai r adalah ….

Share this post