Contoh Soal Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan

Contoh Soal Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan - Pada topik sebelumnya, kamu telah belajar tentang limit fungsi. Kamu tentu sudah memahaminya bukan? Pemahamanmu pada topik tersebut akan sangat membantumu dalam memahami topik kali ini. Pada topik ini, kamu akan belajar tentang konsep laju perubahan nilai fungsi yang meliputi laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat. Konsep tersebut akan menghantarmu pada konsep limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan.

A. Laju Perubahan Rata-Rata

Doni termasuk siswa yang sering terlambat masuk sekolah. Untuk merubah kebiasaan buruknya, Doni merencanakan untuk datang tepat waktu yaitu pukul 06.30 WIB. Jarak rumah Doni dengan sekolah adalah 30 km. Jika Doni berangkat dari rumah pukul 06.00 WIB, berapa kecepatan rata-rata yang harus Doni gunakan agar sampai sekolah tepat waktu? Maukah kamu membantu Doni untuk memecahkan masalahnya?

Untuk membantu menyelesaikan permasalahan Doni, kita harus ingat rumus kecepatan rata-rata dalam pelajaran fisika yang telah kamu pelajari di bangku SMP. Kecepatan rata-rata dapat ditentukan apabila diketahui perubahan jarak suatu benda dengan selang waktu yang ditempuh. Kecepatan rata-rata dapat dirumuskan sebagai berikut.

$v_{rata-rata} = \frac{∆ s}{∆ t} = \frac{s_{2} - s_{1}}{t_{2} - t_{1}}$

dengan:

v_{rata-rata}

= kecepatan rata-rata

∆ s

= perubahan jarak

∆ t

= perubahan waktu

Dengan menggunakan rumus di atas, kamu tentu sudah dapat membantu Doni. Lantas, apa hubunganya ilustrasi tersebut dengan konsep laju perubahan rata-rata fungsi? Sama halnya dengan konsep kecepatan rata-rata yaitu perbandingan antara perubahan jarak terhadap perubahan waktu, laju perubahan rata-rata fungsi juga merupakan perbandingan antara perubahan nilai fungsi (∆y) terhadap perubahan variabel x (∆x).

Jika diketahui fungsi y = f(x) dan x berubah dari x₁ ke x₂ dengan x₁ < x₂, maka laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) didefinisikan sebagai:

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

B. Laju Perubahan Sesaat

Laju perubahan sesaat diperoleh dari laju perubahan rata-rata melalui konsep limit fungsi. Agar kamu dapat memahaminya, perhatikan ilustrasi di bawah ini ya.

Pada suatu kebun, sebuah kelapa jatuh ke tanah dengan panjang lintasan sebagai fungsi waktu yaitu s(t) = t2 meter, t dalam detik. Kecepatan rata-rata gerakan jatuhnya kelapa merupakan perbandingan antara perubahan jarak dengan selisih waktunya seperti yang telah kamu pelajari sebelumnya. Lantas, bagaimana menentukan kecepatan sesaatnya?

Kecepatan sesaat didefinikan sebagai kecepatan yang diukur pada waktu tertentu. Misalkan akan ditentukan kecepatan sesaat pada t = 1 detik. Artinya, kita akan mengukur kecepatan tepat pada waktu 1 detik. Kita dapat menentukan kecepatan sesaat dengan memperkecil selang waktu dalam persamaan kecepatan rata-rata. Melalui konsep kecepatan rata-rata dengan t₁ = 1 dan t₂ merupakan nilai yang terus mendekati t₁, maka nilai ∆t = t₂ – t₁ menjadi semakin kecil. Oleh karena itu, nilai kecepatan rata-ratanya juga semakin berkurang menuju nilai tertentu. Kecepatan sesaat dihitung ketika ∆t mendekati nol, tetapi tidak tepat nol. Perhatikan perhitungan berikut.

Dari t = 1 sampai t = 2

v_{rata-rata} = \frac{∆ s}{∆ t} = \frac{s (2) - s (1)}{2 - 1} = \frac{4 - 1}{2 - 1} = \frac{3}{1}

= 3 m/detik

Dari t = 1 sampai t = 1,5

v_{rata-rata} = \frac{∆ s}{∆ t} = \frac{s (1, 5) - s (1)}{1, 5 - 1} = \frac{2, 25 - 1}{1, 5 - 1} = \frac{1, 25}{0, 5}

= 2,5 m/detik

Dari t = 1 sampai t = 1,1

v_{rata-rata} = \frac{∆ s}{∆ t} = \frac{s (1, 1) - s (1)}{1, 1 - 1} = \frac{1, 21 - 1}{1, 1 - 1} = \frac{0, 21}{0, 1}

= 2,1 m/detik

Dari t = 1 sampai t = 1,01

v_{rata-rata} = \frac{∆ s}{∆ t} = \frac{s (1, 01) - s (1)}{1, 01 - 1} = \frac{1, 0201 - 1}{1, 01 - 1} = \frac{0, 0201}{0, 01}

= 2,01 m/detik

Dari perhitungan tersebut, dapat kita ketahui bahwa perhitungan kecepatan sesaat mengarah pada konsep limit fungsi. Dengan kata lain, kecepatan sesaat merupakan limit dari kecepatan rata-rata untuk selang waktu yang sangat singkat.

$v_{sesaat} = lim_{∆ t \to 0} v_{rata-rata}$

Dengan kata lain, apabila f(t) merupakan fungsi yang menyatakan posisi benda dan h menyatakan bilangan yang sangat kecil, maka kecepatan sesaat benda pada waktu t = a adalah:

$v_{sesaat} = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

Dengan demikian, kecepatan sesaat benda saat t = 1 adalah:

v_{sesaat} = lim_{h \to 0} \frac{f (1 + h) - f (1)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{2} - (1)^{2}}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{1 + 2 h + h^{2} - 1}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{h (2 + h)}{h}

= lim_{h \to 0} 2 + h

= 2 m/detik

Konsep kecepatan sesaat merupakan salah satu contoh laju perubahan sesaat nilai fungsi. Konsep ini akan menghantarkan kita pada konsep limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. Coba kalian perhatikan grafik fungsi f(x) berikut ini.

Misalkan fungsi f terdefinisi dalam selang a ≤ x ≤ a + h. Fungsi f berubah dari x = a, yaitu f(a) sampai pada x = a + h yaitu f(a + h). Perubahan nilai x adalah (a + h) - a = h dan perubahan nilai fungsi f adalah f(a + h) - f(a). Dengan demikian, perubahan rata-rata fungsi pada interval a ≤ x ≤ a + h adalah:

$\frac{f (a + h) - f (a)}{(a + h) - a}$

Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, laju perubahan sesaat nilai fungsi merupakan limit dari laju perubahan rata-rata apabila nilai h sangat kecil mendekati nol yang dapat dituliskan sebagai berikut.

$lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

Konsep limit tersebut merupakan definisi turunan fungsi f(x) di sekitar x = a. Konsep ini merupakan dasar untuk menentukan turunan suatu fungsi. Secara umum, dapat dituliskan sebagai:

$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Contoh Soal Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan

A. Laju Perubahan Rata-Rata

$v_{rata-rata} = \frac{∆ s}{∆ t} = \frac{s_{2} - s_{1}}{t_{2} - t_{1}}$

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

B. Laju Perubahan Sesaat

$v_{sesaat} = lim_{∆ t \to 0} v_{rata-rata}$

$v_{sesaat} = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

$\frac{f (a + h) - f (a)}{(a + h) - a}$

$lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Contoh Soal Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan

A. Laju Perubahan Rata-Rata

vrata-rata=ΔsΔt=s2−s1t2−t1vrata-rata=∆s∆t=s2−s1t2−t1

ΔyΔx=f(x2)–f(x1)x2–x1∆y∆x=f(x2)–f(x1)x2–x1

B. Laju Perubahan Sesaat

vsesaat=limΔt→0vrata-ratavsesaat=lim∆t→0vrata-rata

vsesaat=limh→0f(a+h)−f(a)hvsesaat=limh→0f(a+h)−f(a)h

f(a+h)−f(a)(a+h)−af(a+h)−f(a)(a+h)−a

limh→0f(a+h)−f(a)hlimh→0f(a+h)−f(a)h

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

$v_{rata-rata} = \frac{∆ s}{∆ t} = \frac{s_{2} - s_{1}}{t_{2} - t_{1}}$

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

$v_{sesaat} = lim_{∆ t \to 0} v_{rata-rata}$

$v_{sesaat} = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

$\frac{f (a + h) - f (a)}{(a + h) - a}$

$lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$