Contoh Soal Menemukan suku bilangan dalam ekspansi binomial

Contoh Soal Menemukan suku bilangan dalam ekspansi binomial - Saat kalian melihat pada polinomial (x+y)2 atau bahkan (x+y)3, kalian akan mengenalinya sebagai jumlah dari pangkat-dua atau pangkat-tiga dan menggunakan identitas ini untuk mendapatkan hasil. Tapi apa yang akan kalian lakukan mengenai polinomial (x+y)7?  Meskipun polinomial ini tampak sulit dan menyita waktu, jika kalian memahami aturan dari penjabaran binomial, akan menjadi sangat mudah untuk mendapatkan hasil dari polinomial ini.

Metode yang paling mudah untuk menjabarkan polinomial ini adalah dengan memahami segitiga Pascal, yang tampak seperti ini:
                                          1
                                       1  2  1
                                     1  3  3  1
                                   1  4  6  4  1
                                 1  5 10 10  5  1
                               1  6 15 20 15  6  1          
Dan segitiganya berlanjut. Sebuah fakta bagus adalah jika kalian mengalikan keluar bilangan 11, kalian dapat membentuk segitiga Pascal (112=121, 113=1331). Untuk menguji segitiga ini, lihat pada identitas yang kalian tahu: (x+y)2 dan (x+y)3.Ketika kalian melihat pada jumlah dari pangkat-dua/kuadrat, kalian akan melihat bahwa koefisien 1, 2 1, dan jumlah pangkat-tiga, memiliki koefisien 1,3,3,1. Untuk membuktikan identitas-identitas ini, akan membutuhkan banyak waktu, itulah mengapa kita menggunakan penjabaran binomial untuk menjabarkan polinomial derajat tinggi. Kesulitannya muncul ketika kita menambahkan variabel dan koefisien lain ke dalam gabungan ini. Sekarang mari coba sebuah contoh:

Contoh: Jabarkan (6a+7b)5

Mulai dengan mencari binomial derajat ketiga pada segitiga Pascal, yaitu 1,5,10,10,5,1

Selanjutnya kita harus mengelola eksponen-eksponennya, suku pertamanya adalah (6a)5, selanjutnya (6a)4(7b)1 Dan seterusnya. Bagian sulitnya adalah untuk tetap ingat mencatat koefisien-koefisien dari kedua suku dan segitiga Pascal.

Kita dapat menuliskan penjabarannya dengan koefisien dari segitiga Pascal serta suku-suku yang kita tahu:

1(6a)5)+5((6a)4(7b)1)+10((6a)3(7b)2)+10((6a)2(7b)3)+5((6a)1(7b)4)+1(7b)5

Selanjutnya kita dapat memisahkan semua koefisien dan variabel:

1(65)(a5)+5(64)(71)(a4)(b1)+10(63)(72)(a3)(b2)+10(62)(73)(a2)(b3)+5(61)(74)(a1)(b4)+(75)(b5)

Jika kita menyelesaikan ini kita akan melihat bahwa penjabaran ini menghasilkan:

7776a5+45360a5b+105840a3b2+123480a2b3+72030ab4+16807b5

Bilangan-bilangan itu sangat besar, tapi juga benar. Ketika koefisiennya dinaikkan pada pangkat tinggi, kalian akan menemukan bahwa bilangannya menjadi cukup besar. Dan itulah. Ingat bahwa jika kalian mengalikan keluar sebuah binomial dengan negatif, maka kalian harus memakai tanda negatif selama penjabaran dilakukan.

S1

Segitiga manakah yang dapat menyatakan koefisien binomial?

S2

Untuk binomial (x + y) dan bilangan alami  n, ekspansi  binomialnya dinyatakan dengan bentuk berikut:

$${(\mathit{x}+\mathit{y})}^{}$$ n = a 0 x n y 0 + a 1 x n−1 y 1 +...+ a n−1 x 1 y n−1 + a n x 0 y n

Digambarkan ke baris manakah dari segitiga Pascal koefisien a0, a1,...,an-1, an?

S3

Berapakah koefisien suku bilangan ke-3 dalam ekspansi binomial berikut?

$$($$ x+y ) 3

S4

Berapakah suku bilangan ke-4 dari ekspansi binomial berikut?

$${(}^{}$$ x+2 ) 4

S5

Berapakah suku bilangan ke-5  dalam ekspansi bentuk binomial berikut?

$${(}^{}$$ 2x+3y ) 6

S6

Berapakah suku bilangan kedua dari ekspansi bentuk binomial berikut? 

$${(}^{}$$ 3x− 1 3 ) 4

S7

Berapakah koefisien suku bilangan ke-9 dalam ekspansi bentuk binomial berikut?

$${(\mathit{x}+\mathit{y})}^{}$$ 12

S8

Berapakah suku bilangan ke-11 dari ekspansi bentuk binomial berikut?

$${(}^{}$$ x+1 ) 15

S9

Berapakah suku bilangan ke-5 dari ekspansi bentuk binomial berikut?

$${(}^{}$$ 2x+ 1 2 ) 13

S10

Berapakah suku bilangan ke-15 dari ekspansi bentuk binomial berikut?

$${(}^{}$$ 8x+ 1 4 ) 18

Share this post