Menentukan Bentuk Benda Hasil Transformasi Matriks

Menentukan Bentuk Benda Hasil Transformasi Matriks - Bagaimana kabar kalian?

Mudah-mudahan masih dalam kondisi prima.

Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang penerapan matriks dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel maupun tiga variabel. Kalian juga telah belajar mengenai hasil transformasi titik, garis, maupun kurva.

Nah, pada topik kali ini, kalian akan belajar tentang cara menentukan koordinat asal, persamaan garis semula, persamaan kurva semula, dan matriks transformasi yang digunakan.

Koordinat Titik Semula

Tahukah kalian bagaimana cara menentukan koordinat titik semula jika koordinat titik bayangan dan matrik transformasi yang digunakan telah diketahui?

Ya, ada dua cara untuk menentukannya, yaitu dengan metode invers matriks dan eliminasi Gauss-Jordan.

Invers Matriks

Jika kita misalkan hasil transformasi titik (x, y) oleh matriks X adalah (x', y'), maka persamaan matriks yang sesuai adalah (x′y′ )=X(xy )$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=X\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$.

Berdasarkan metode invers matriks, AX=B⇔X=A−1B $AX=B\iff X=A^{-1}B$.

Dengan demikian, koordinat titik asal, yaitu (x, y) dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan: (xy )$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ =X−1$=X^{-1}$ (x′y′ )$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$

Eliminasi Gauss-Jordan

Jika kita misalkan hasil transformasi titik (x, y) oleh matriks (acbd )$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ adalah (x', y'), maka persamaan matriks yang sesuai adalah (x′y′ )=(acbd )(xy )$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$.

Jika digunakan eliminasi Gauss-Jordan, maka kalian perlu menuliskan persamaan di atas dalam bentuk (acbd ∣∣∣x′y′ )$(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}|\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array})$.

Nah, untuk menentukan koordinat titik asal, kalian perlu mengubah bentuk tersebut menjadi bentuk berikut: (1001 ∣∣∣xy )$(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}|\begin{array}{c}x\\ y\end{array})$.

Persamaan Garis/Kurva Semula

Nah, tahukah kalian bagaimana cara menentukan persamaan garis/kurva semula jika persamaan garis/kurva bayangan dan matrik transformasi yang digunakan telah diketahui?

Benar, yang perlu kalian lakukan adalah mensubtitusikan nilai dari variabel x' dan y' ke persamaan bayangan.

Mari kita perhatikan contoh berikut.

Contoh 1:

Bayangan garis y = mx + c oleh transformasi M=(−1321 )$M=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$ adalah 2x – 3y + 5 = 0. Tentukan persamaan garis tersebut.

Penyelesaian:

Oleh karena persamaan garis 2x – 3y + 5 = 0 merupakan bayangan suatu garis, maka persamaan garis tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk 2x' – 3y' + 5 = 0.

Hasil transformasi titik (x, y) oleh matriks M adalah sebagai berikut:

(x′y′ )=(−1321 )(xy )=(−x+2y3x+y )$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2y\\ 3x+y\end{array}\right)$

Selanjutnya jika kita subtitusikan varibel x' dan y' dari uraian di atas ke persamaan 2x – 3y + 5 = 0, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

Matriks Transformasi

Dalam transformasi geometri, jika koordinat titik asal dan bayangan diketahui, maka matriks transformasinya dengan mudah dapat ditentukan.

Agar lebih jelas, mari kita perhatikan contoh berikut ini:

Contoh 2:

Tentukan matriks transformasi yang memetakan titik A(-3, 2) dan B(-2, 7) ke titik A’(7, -23) dan B’(16, -55).

Penyelesaian

Jika dimisalkan matriks transformasi yang dimaksud adalah matriks X, maka berdasarkan konsep transformasi, kita peroleh persamaan berikut: (7−2316−55 )=X(−32−27 )$\left(\begin{array}{cc}7& 16\\ -23& -55\end{array}\right)=X\left(\begin{array}{cc}-3& -2\\ 2& 7\end{array}\right)$.

Selanjutnya karena A=XB⇔X=AB−1$A=XB\iff X=A{B}^{-1}$, maka

Nah, kalian telah selesai belajar mengenai materi ini. Ayo kerjakan latihan soal dalam topik ini untuk menguji pemahaman kalian.

contoh soal transformasi geometri,

komposisi transformasi geometri,

transformasi geometri kelas 12,

contoh soal transformasi geometri refleksi,

contoh soal transformasi geometri rotasi,

materi transformasi,

materi kuliah geometri transformasi,

makalah transformasi geometri,

2x

Share this post