Probabilitas Bersyarat

Probabilitas Bersyarat - Himpunan seluruh kejadian yang mungkin dari suatu percobaan disebut dengan ruang sampel dan biasa dilambangkan dengan Ω. Adapun kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Probabilitas Bersyarat

Dari hasil observasi dua buah kejadian, diketahui bahwa kejadian kedua baru akan berlangsung setelah kejadian pertama berlangsung.

Selanjutnya, jika kejadian pertama adalah kejadian A dan kejadian kedua adalah kejadian B, maka probabilitas kejadian B berlangsung setelah kejadian A berlangsung terlebih dahulu adalah :

P(B∣∣∣A)=P(A∩B)P(A)$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

Dalam hal ini, kejadian di atas disebut dengan kejadian bersyarat dan A ∩ B adalah irisan antara kejadian A dan kejadian B.

Selanjutnya, dari rumus di atas, diperoleh :

P(A∩B)=P(A)P(B|A)$$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$$

Namun jika keadaan berbalik, dimana kejadian A hanya akan berlangsung jika kejadian B berlangsung terlebih dahulu, maka probabilitasnya adalah :

P(A∣∣∣B)=P(A∩B)P(B)$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Selanjutnya, dari rumus di atas, diperoleh :

P(A∩B)=P(B)P(A|B)$$P(A\cap B)=P(B)P(A|B)$$

Dengan demikian,

P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$$

Identitas di atas disebut dengan aturan Bayes.

Lebih lanjut, dari aturan Bayes tersebut, diperoleh bahwa probabilitas kejadian A adalah :

P(A)=P(B)P(A|B)P(B|A)$$P(A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(B|A)}$$

Akan tetapi, jika kejadian B tidak bergantung pada kejadian A, maka :

P(B)=P(A∩B)P(A)$$P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa P(B|A) = P(B) jika kejadian A dan B bukan merupakan kejadian bersyarat.

Contoh :

Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Jika jumlah mata dadu yang muncul adalah 10, maka carilah probabilitas kejadian :

A – diperoleh paling sedikit mata dadu 5
B – diperoleh paling sedikit mata dadu 6

Penyelesaian :

Misalkan D adalah kejadian diperoleh jumlah mata dadu 10 dengan memperhatikan kejadian A dan B, maka kejadian yang mungkin adalah : (4,6), (6,4), dan (5,5). Dengan demikian,

P(A∣∣∣D)=13$$P(A|D)=\frac{1}{3}$$

Hal ini terjadi karena banyak kejadian yang mungkin dari kejadian D adalah 3 dan jika kejadian A berlangsung, maka kita memperoleh : (5,5).

P(B∣∣∣D)=23$$P(B|D)=\frac{2}{3}$$

Hal ini terjadi karena banyak kejadian yang mungkin dari kejadian D adalah 3 dan jika kejadian B berlangsung, maka kita akan memperoleh mata dadu 6 sebanyak dua buah : (4,6) dan (6,4).

Contoh :

Dalam sebuah kontrol kualitas terhadap dua buah mesin, diketahui bahwa : mesin pertama beroperasi selama 40% dari waktu yang ada dan mesin kedua beroperasi selama 60% dari waktu yang ada.

Diketahui pula bahwa produk cacat yang dihasilkan oleh mesin pertama dan kedua berturut-turut adalah sebesar 3% dan 5%.

Jika dilakukan pengambilan produk secara acak, maka berapakah probabilitas terambil produk cacat?

Misalkan :

A1 – produk dihasilkan oleh mesin 1

A2 – produk dihasilkan oleh mesin 2

B – produk cacat

maka :

P(A1)=0.4P(A2)=0.6P(B|A1)=0.03P(B|A2)=0.05$$\begin{array}{l}P(A_1)=0.4\\ P(A_2)=0.6\\ P(B|A_1)=0.03\\ P(B|A_2)=0.05\end{array}$$

Selanjutnya, dengan menggunakan aturan Bayes, diperoleh bahwa probabilitas terpilih produk cacat adalah :

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)        =0,4 x 0,03+0,6 x 0,05        =0,012+0,003        =0,015

Share this post