Contoh Soal Penjumlahan, Pengurangan, dan Panjang Vektor

Contoh Soal Penjumlahan, Pengurangan, dan Panjang Vektor - Prinsip dasar pendekatan grafis pada operasi vektor adalah vektor tidak berubah jika posisinya digeser tanpa mengubah panjang dan arahnya. Mari simak penjelasan berikut agar kamu lebih paham.

       Misalkan terdapat dua yaitu vektor A→danB→$\overrightarrow{A}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\overrightarrow{B}$ yang digambarkan sebagai ruas garis berarah seperti di bawah ini.

Hasil penjumlahan dan pengurangan vektor di atas dapat ditentukan dengan beberapa pendekatan salah satunya pendekatan grafis. Ada dua macam pendekatan grafis yang dapat digunakan untuk menentukan hasil operasi penjumlahan dan pengurangan vektor yaitu metode ujung ke pangkal (tip-to-tail method) dan metode jajargenjang.

Metode Ujung ke Pangkal (tip-to-tail method)

Metode ujung ke pangkal (tip-to-tail method) juga dikenal dengan metode segitiga. Untuk menjumlahkan kedua vektor yang dimaksud (A→+B→)$(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})$, kita cukup menggeser salah satu vektor menuju vektor lainnya, sedemikian sehingga ujung (tip) salah satu vektor berimpit dengan pangkal (tail) vektor lainnya. Hasil penjumlahan (resultan) kedua vektor tersebut digambarkan sebagai berikut.

       Untuk mengurangkan kedua vektor misalnya A→−B→$\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$, kita dapat memanfaatkan prinsip aljabar yaitu a - b = a + (-b). Ini berarti, kita cukup membalik arah vektor B→$\overrightarrow{B}$menjadi −B−→−$\overrightarrow{-B}$ (invers penjumlahan vektor). Kemudian, gunakan metode tip-to-tail seperti halnya operasi penjumlahan vektor. Hasil pengurangan kedua vektor tersebut digambarkan seperti di bawah ini.

Metode Jajargenjang

Pada metode ini, kedua vektor digeser sehingga pangkal kedua vektor berimpit di satu titik, kemudian dilanjutkan dengan melengkapi gambar menjadi sebuah jajargenjang. Hasil penjumlahan (resultan) kedua vektor (A→+B→)$(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})$ merupakan diagonal jajargenjang yang dilukis dari titik pangkal vektor yang berimpit. Resultan vektor tersebut digambarkan sebagai berikut.

       Untuk mengurangkan A→$\overrightarrow{A}$ dengan B→$\overrightarrow{B}$, langkah awalnya sama dengan metode tip-to-tail, yaitu membalik arah vektor B→$\overrightarrow{B}$ menjadi −B→$-\overrightarrow{B}$. Langkah selanjutnya adalah menggeser A→dan−B→$\overrightarrow{A}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}-\overrightarrow{B}$ agar pangkalnya berimpit. Terakhir, lengkapi gambar menjadi jajargenjang dengan menambahkan sisi yang sejajar dengan masing-masing vektor. Hasil pengurangan kedua vektor tersebut yang merupakan diagonal jajargenjang yaitu:

       Modifikasi kedua metode ini dapat diterapkan untuk operasi yang melibatkan lebih dari dua vektor di ruang dimensi 2 atau 3 seperti:

A→+B→+C→+D→+E→+F→+...=(A→+B→)+(C→+D→)+(E→+F→)+...$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}+\overrightarrow{E}+\overrightarrow{F}+...=(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})+(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D})+(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{F})+...$

dan

A→−B→−C→−D→−E→−F→−...=(A→−B→)−(C→+D→)−(E→+F→)−...$\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D}-\overrightarrow{E}-\overrightarrow{F}-...=(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})-(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D})-(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{F})-...$

Dengan kata lain, kamu cukup mengulang penjumlahan untuk setiap dua vektor secara terpisah.

Pendekatan Matematis

Pendekatan matematis dapat dipandang sebagai penyempurnaan pendekatan grafis. Prinsip dasar yang digunakan adalah menyatakan setiap vektor ke dalam komponen-komponen pembentuknya. Mari kita mulai dari suatu kasus umum pada ruang dimensi dua (R2 ).

       Misalkan dua buah vektor dinyatakan dalam komponen pembentuknya berupa A→=⟨a1,a2⟩danB→=⟨b1,b2⟩$\overrightarrow{A}=⟨a_1,a_2⟩\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\overrightarrow{B}=⟨b_1,b_2⟩$, sehingga operasi penjumlahan dan pengurangan kedua vektor ini dapat didefinisikan sebagai berikut.

A→+B→=⟨a1,a2⟩+⟨b1,b2⟩=⟨a1+b1,a2+b2⟩$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=⟨a_1,a_2⟩+⟨b_1,b_2⟩=⟨a_1+b_1,a_2+b_2⟩$

A→−B→=⟨a1,a2⟩−⟨b1,b2⟩=⟨a1−b1,a2−b2⟩$\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=⟨a_1,a_2⟩-⟨b_1,b_2⟩=⟨a_1-b_1,a_2-b_2⟩$

       Seperti halnya pendekatan grafis, pendekatan matematis juga dapat dimodifikasi untuk menghitung penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan lebih dari dua vektor sebagai berikut.

Kelebihan dari pendekatan matematis adalah kita tidak harus menggambarkan vektor-vektor yang terlibat dalam perhitungan. Ini karena vektor-vektor yang memiliki dimensi lebih dari 3 tidak dapat digambarkan di atas kertas, sehingga pendekatan matematis berikut akan sangat berguna untuk operasi penjumlahan dan pengurangan di ruang dimensi n.

SOAL 1

Prinsip yang mendasari operasi penjumlahan dan pengurangan vektor secara grafis adalah …

SOAL 2

Diketahui vektor M−→=⟨xm,ym,zm⟩$\overrightarrow{M}=⟨x_m,y_m,z_m⟩$ dan N→=⟨xn,yn,zn⟩$\overrightarrow{N}=⟨x_n,y_n,z_n⟩$. Pernyataan yang benar mengenai vektor M+N−→−−−−$\overrightarrow{M+N}$ adalah ….

SOAL 3

Diketahui:
A→=⟨1,−2⟩C→=⟨1,2⟩E→=⟨−2,0⟩B→=⟨2,0⟩D→=⟨−1,2⟩F→=⟨−1,−2⟩$\begin{array}{ll}\overrightarrow{A}=⟨1,-2⟩& \overrightarrow{B}=⟨2,0⟩\\ \overrightarrow{C}=⟨1,2⟩& \overrightarrow{D}=⟨-1,2⟩\\ \overrightarrow{E}=⟨-2,0⟩& \overrightarrow{F}=⟨-1,-2⟩\end{array}$

Vektor-vektor tersebut dapat disusun menjadi sebuah segienam. Jika keenam vektor tersebut dijumlahkan, maka vektor resultannya adalah ….

SOAL 4

Vektor P→danQ→$\overrightarrow{P}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\overrightarrow{Q}$ saling sejajar dan berlawanan arah dengan panjang 2 satuan dan 3 satuan. Pernyataan yang benar tentang penjumlahan (resultan) kedua vektor tersebut adalah ….

SOAL 5

Vektor A→$\overrightarrow{A}$ dan B→$\overrightarrow{B}$ saling tegak lurus dan memiliki panjang masing-masing 3 dan 4 satuan. Panjang dari vektor A+B−→−−−$\overrightarrow{A+B}$ adalah ….

SOAL 6

Besar sudut yang dibentuk oleh vektor V→=⟨1,3–√⟩$\overrightarrow{V}=⟨1,\sqrt{3}⟩$ dengan sumbu x adalah ….

SOAL 7

JikaT→=⟨1,0,−1,0⟩danU→=⟨−1,2,1,−2⟩$\overrightarrow{T}=⟨1,0,-1,0⟩\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\overrightarrow{U}=⟨-1,2,1,-2⟩$, maka panjang vektor T−U−→−−−$\overrightarrow{T-U}$ adalah …

SOAL 8

Jika A→danB→$\overrightarrow{A}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\overrightarrow{B}$ merupakan vektor yang berbeda ukuran dan arah, maka diagram operasi vektor yang tepat berdasarkan pendekatan grafis adalah ….

SOAL 9

Diketahui ∣∣∣A→∣∣∣=2,∣∣∣B→∣∣∣=3,dan∣∣∣A+B−→−−−∣∣∣=4$\left|\overrightarrow{A}\right|=2,\left|\overrightarrow{B}\right|=3,\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\left|\overrightarrow{A+B}\right|=4$.

Jika vektor-vektor tersebut berada pada ruang dimensi 2 (R2)$(R^2)$, maka nilai dari ∣∣∣A−B−→−−−∣∣∣2${\left|\overrightarrow{A-B}\right|}^2$adalah ….

SOAL 10

Fani melakukan operasi pada dua buah vektor tak-nol A→danB→$\overrightarrow{A}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\overrightarrow{B}$. Adapun operasi yang dia kerjakan adalah (A→+B→),(B→+A→),(A→−B→),dan(B→−A→)$(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}),(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}),(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}),\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})$. Kesimpulan yang salah tentang hasil operasi vektor tersebut adalah ….

Share this post