Contoh Soal Akar-akar polinomial
Contoh Soal Akar-akar polinomial - Kalian mungkin sudah tahu banyak tentang polinomial, tapi kalian akan segera belajar bahwa salah satu aspek terpenting dari sebuah polinomial adalah nilai nol dari fungsi tersebut. Nilai nol dari polinomial adalah titik-titik pada grafik dari fungsi yang memotong sumbu X dan y=0. Karena sebuah polinomial dapat menjadi sangat berbeda dengan polinomial setelahnya, ada banyak metode yang dapat digunakan untuk mencari nilai nol dari sebuah polinomial.
Metode paling sederhana yang digunakan untuk mencari nilai nol dari sebuah fungsi adalah pemfaktoran. Pemfaktoran melibatkan pemecahan fungsi ke dalam faktor-faktornya. Ketika faktor-faktor ini dikalikan keluar, akan dihasilkan fungsi aslinya. Dalam bentuk faktor, akan terungkap nilai nol dari fungsi tersebut.
Contoh 1: Carilah nilai nol dari fungsi f(x) =x2-2x-3
Salah satu cara yang paling mudah untuk memfaktorkan fungsinya adalah dengan menggunakan koefisien. Karena -2x adalah suku tengah, kalian dapat menggunakan koefisien lainnya untuk menyelesaikan. Faktor-faktor yang mungkin dari koefisien pada x2 hanyalah ±1. Untuk bilangan bulat, -3, faktor-faktor yang mungkin adalah ±1, ±3. Kita kemudian tahu bahwa faktor-faktor tersebut harus ditambah hingga menjadi -2. Menggunakan fakta-fakta ini, kita dapat menyimpulkan bahwa akarnya adalah x=-1 dan x=3, dan bentuk faktornya akan menjadi (x-3) (x+1).
Ada tipe-tipe lain dari fungsi-fungsi tertentu yang memiliki pola faktorisasi khusus. Tiga contohnya adalah selisih dari fungsi kuadrat serta jumlah/selisih dari fungsi pangkat tiga. Kita akan melihat pada beberapa contoh untuk menjelaskan aturan-aturan ini.
Contoh 2: Faktorkan x2-4
Langkah Pertama: Tulis ulang pecahan sebagai x2-22
Langkah Kedua: Langkah selanjutnya adalah mengenali aturan untuk selisih pangkat, yang hasilnya akar-akar tersebut adalah ± bilangan bulat akhir. Jadi akarnya adalah x=±2
Langkah Ketiga: Tuliskan fungsinya di dalam bentuk faktor: (x-2) (x+2)
Juga ada dua aturan untuk memfaktorkan jumlah/selisih dari jumlah pangkat tiga:
(a3-b3)= (a-b) (a2+ab+b2)
(a3+b3)= (a+b) (a2-ab+b2)
Untuk fungsi-fungsi yang memiliki banyak variabel dinaikkan menjadi berpangkat tinggi, seperti q(x) =x3+x2-4x-4. Namun kita dapat menggunakan sebuah metode yang disebut pembagian sintetik untuk mencari akar.
Langkah Pertama: Carilah semua faktor yang mungkin ada dari suku pertama dan suku terakhir dari persamaan kalian, jadi ±1, ±2, ±4
Langkah Kedua: Tulis semua koefisien kalian dalam sebuah baris tunggal
Langkah Ketiga: Sekarang pilih sebuah akar potensial dari faktor-faktor kalian, mari coba x=2
Langkah Keempat: Ketika kalian menuruni sebuah kolom, kalian menambahkan. Kemudian kalikan bilangan pada bagian dasar dengan faktor kalian dan masukkan dalam kotak selanjutnya, teruskan proses ini hingga kalian mencapai akhir. Jika kalian mencapai akhir dan menemukan bilangan nol di dalam kotak terakhir, maka faktor yang kalian pilih adalah sebuah akar! Disini, x=2 adalah sebuah akar!
Sekarang, hanya ada satu metode yang kita gunakan untuk mencari nol meskipun fungsinya tidak dapat difaktorkan. Metode ini disebut dengan fungsi kuadrat (quadratic function). Untuk fungsi, f(x)=ax2+bx+c, dapat diselesaikan dengan rumus kuadrat (quadratic formula).
Contoh akhir: Carilah nilai nol dari fungsi p(x)=x2+7x-1
Langkah Pertama: Pisahkan koefisien kalian, a=1, b=7, c=-1
Langkah Kedua: Masukkan!
Langkah Ketiga: Setelah kalian memasukkannya, jawaban kalian seharusnya (-7±√53)/2, atau r x=.14 dan x=-7.14. Di dalam konteks soal tertentu, hanya satu dari akar-akar kalian yang dapat diterapkan.
S1
Seorang pesenam meloncat dari palang-palang bertingkat. Tingginya, h, tergantung pada waktu, t, sehingga pada saat dia berada di udara dinyatakan dengan:
h = -16t2 + 8t + 8.
Berapa lama waktu yang diperlukan pesenam untuk mencapai tanah?
S2
Bentuk faktor sempurna dari x8 - y8 adalah
S3
Seorang matematikawan perlu memfaktorkan bentuk polinomial 27a3 + 125b3. Bentuk terfaktorkannya adalah:
S4
Dapatkah kamu memfaktorkan bentuk berikut dengan sempurna?
20 x2 − 405
S5
Akar dari polinomial p(x) = x3 - 23x2 + 142x - 120 adalah:
S6
Sebuah bangunan persegi panjang ditempatkan di atas tanah yang berukuran 30 m x 40 m. Bangunannya harus ditempatkan dengan tepat sehingga lebar halaman rumputnya sama di keempat sisi bangunan. Peraturan lokal menyatakan bangunan tidak boleh menempati lebih dari 50 % tanahnya. Dimensi gedung terbesar yang dapat dibangun diatas tanah tersebut adalah:
S7
Menggunakan Aturan Tanda Descartes, apa yang dapat kamu katakan tentang akar asli dari f(x)?f (x) = x5 – x4 + 3x3 + 9x2 – x + 5
S8
Temukan akar-akar dari fungsi berikut:
f(x) = x4 - 15x2 - 10x + 24.
S9
Sebuah perusahaan mengembangkan rumus untuk menentukan permintaan suatu produk berdasarkan harganya dalam dollar. Rumusnya adalah sebagai berikut: D = 2000 + 100P - 6P2
dimana P adalah harga per unit dan D adalah jumlah unit yang diminta. Pada harga berapakah, permintaannya turun menjadi 1000 unit?
S10
Apakah bentuk 8x3 + 27y3 + z3 - 18xyz yang sudah difaktorkan?