Prinsip Induksi Matematis

Prinsip Induksi Matematis - Dalam topik kali ini kalian akan belajar tentang induksi matematika. Namun sebelum kita masuk ke dalam materi induksi matematika, ada baiknya kita belajar mengenai cara pengambilan keputusan terlebih dahulu.

Prinsip Induksi Matematis

Apa yang kalian ketahui tentang pengambilan keputusan?

Ya, untuk mengambil keputusan dalam matematika, kita dapat menggunakan prinsip penalaran deduktif maupun penalaran induktif.

Proses penalaran deduktif bermula dari sesuatu yang bersifat umum menuju ke sesuatu yang bersifat khusus. Adapun penalaran induktif bermula dari sesuatu yang bersifat umum menuju ke sesuatu yang bersifat khusus.

Nah, induksi matematika yang akan kita pelajari pada topik ini merupakan bentuk penalaran secara deduktif, sebab kebenaran yang diperoleh melalui induksi matematika merupakan kebenaran yang berlaku di dalam semesta pembicaraannya.

Perlu kalian ketahui, induksi matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan yang khusus menyangkut bilangan bulat positif (bilangan asli).

Pernahkah kalian mendengar istilah "efek domino"?

Misalkan terdapat sejumlah batu domino yang diletakan berdiri dengan jarak yang sama satu sama lain.

Apa yang perlu kalian lakukan untuk merebahkan seluruh batu domino tersebut?

Ya, untuk merebahkan domino kita hanya perlu mendorong domino pertama ke arah domino yang berada di sampingnya. Dengan demikian, domino pertama akan mendorong domino ke 2, domino ke-2 akan mendorong domino ke-3, dan seterusnya sampai semua domino rebah.

Nah, proses pembuktian dengan induksi matematika dapat diilustrasikan seperti terjadinya efek domino tersebut.

Induksi Matematika

Untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan p(n)$p(n)$ yang bergantung pada nilai n$n$dari bilangan bulat positif, terlebih dahulu kita buktikan bahwa pernyataan tersebut benar atau berlaku untuk n=1$n=1$. Dengan kata lain, mula-mula kita harus membuktikan bahwa p(1)$p(1)$ bernilai benar. Nah, selanjutnya kita perlu membuat sebuah hipotesis dengan memisalkan pernyataan p(n)$p(n)$ berlaku untuk bilangan bulat positif k$k$, dimana k>1$k>1$. Berdasarkan hipotesis ini, kalian perlu membuktikan bahwa p(n)$p(n)$ juga bernilai benar untuk n=k+1$n=k+1$.

Perlu kalian ingat, jika p(n)$p(n)$ terbukti benar untuk n=k+1$n=k+1$, maka dapat kita simpulkan bahwa pernyataan p(n)$p(n)$ bernilai benar untuk setiap n=1,2,...$n=1,2,...$.

Secara sederhana, langkah-langkah pembuktian dengan menggunakan prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut:

• sebagai basis induksi, kita buktikan bahwa p(n)$p(n)$ benar atau berlaku untuk n=1$n=1$
• buat hipotesis induksi, yaitu dengan memisalkan bahwa p(n)$p(n)$ benar atau berlaku untuk n=k$n=k$
• selidiki kebenaran dari pernyataan p(n)$p(n)$ untuk n=k+1$n=k+1$

Apakah kalian sudah paham dengan penjelasan di atas?

Yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut agar kalian semakin paham.

Contoh 1

Selidikilah kebenaran pernyataan: 
"Untuk setiap bilangan bulat positif n≥1$n\ge 1$, bilangan 2n$2n$ merupakan bilangan genap".

Penyelesaian:

Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, kita notasikan pernyataan dalam soal sebagai p(n)=2n$p(n)=2n$.

Basis Induksi:
Kita selidiki apakah p(1)$p(1)$ merupakan bilangan genap.

p(1)=2×1=2$p(1)=2\times 1=2$ → bilangan genap

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa p(1)$p(1)$ merupakan bilangan genap.

Hipotesis Induksi:

Misalkan p(n)$p(n)$ benar merupakan bilangan genap untuk setiap n=k$n=k$ dimana k>1$k>1$.

Pembuktikan untuk n=k+1$n=k+1$:

Akan kita selidiki apakah p(n)$p(n)$ untuk n=k+1$n=k+1$ juga merupakan bilangan genap.

p(k+1)=2(k+1)=2k+2$p(k+1)=2\left(k+1\right)=2k+2$

Oleh karena dalam hipotesis induksi kita asumsikan bahwa p(k)=2k$p(k)=2k$ merupakan bilangan genap dan penjumlahan dua bilangan genap juga berupa bilangan genap, maka dapat kita simpulkan bahwa p(k+1)$p(k+1)$ merupakan bilangan genap.

Jadi, dapat kita simpulkan bahwa bentuk "Untuk setiap bilangan bulat positif n≥1$n\ge 1$, bilangan 2n$2n$ merupakan bilangan genap" merupakan pernyataan yang benar.

Contoh 2

Buktikan bahwa 1+2+3+…+n=n(n+1)2, n≥1$1+2+3+\dots +n=\frac{n\left(n+1\right)}{2},n\ge 1$.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, kita notasikan pernyataan dalam soal sebagai p(n)=n(n+1)2$p(n)=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$.

Basis Induksi:
Kita selidiki apakah p(1)$p(1)$ berlaku.

Berdasarkan bentuk deret dari soal, p(1)=1$p(1)=1$, sedangkan berdasarkan rumus p(n)$p(n)$, p(1)=1(1+1)2=1$p(1)=\frac{1\left(1+1\right)}{2}=1$.

Dengan demikian, p(n)$p(n)$ berlaku untuk n=1$n=1$.

Hipotesis Induksi:

Misalkan p(n)$p(n)$ benar merupakan untuk setiap n=k$n=k$ dimana k>1$k>1$.

Pembuktikan untuk n=k+1$n=k+1$:

Akan kita selidiki apakah p(n)$p(n)$ untuk n=k+1$n=k+1$ juga berlaku.

1+2+3+…+k+(k+1)=====(1+2+3+…+k)+(k+1)k(k+1)2+(k+1)k(k+1)2+2(k+1)2k(k+1)+2(k+1)2(k+1)(k+2)2$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{lll}1+2+3+\dots +k+\left(k+1\right)& =& \left(1+2+3+\dots +k\right)+\left(k+1\right)\\ & =& \frac{k\left(k+1\right)}{2}+\left(k+1\right)\\ & =& \frac{k\left(k+1\right)}{2}+\frac{2\left(k+1\right)}{2}\\ & =\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{k\left(k+1\right)+2\left(k+1\right)}{2}\\ & =& \frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\end{array}$

Oleh karena dalam hipotesis induksi kita asumsikan bahwa 1+2+3+…+n=k(k+1)2$1+2+3+\dots +n=\frac{k\left(k+1\right)}{2}$ bernilai benar, maka dapat kita simpulkan bahwa p(k+1)$p(k+1)$ bernilai benar.

Dengan demikian, terbukti bahwa 1+2+3+…+n=n(n+1)2, n≥1$1+2+3+\dots +n=\frac{n\left(n+1\right)}{2},n\ge 1$.

Penjelasan di atas cukup mudah dipahami bukan?
Nah, untuk menguji pemahaman kalian, yuk kerjakan sepuluh latihan soal dalam topik ini.

Share this post