Menghitung Panjang Diagonal Bidang

Menghitung Panjang Diagonal Bidang - Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang konsep dan sifat diagonal bidang. Nah, dalam topik kali ini, kalian akan belajar bagaimana cara menentukan panjang diagonal bidang.

Menghitung Panjang Diagonal Bidang

Kubus

Seperti yang telah kalian ketahui, kubus mempunyai 12 diagonal bidang dengan panjang sama.

Nah, pada kubus ABCD.EFGH$ABCD.EFGH$, ruas garis AF$AF$ merupakan diagonal bidang.

Tahukah kalian bagaimana cara menentukan panjang AF$AF$?

Benar, kita dapat menentukan panjang AF$AF$ dengan menggunakan teorema Pythagoras.

Oleh karena panjang AB=BC=x$AB=BC=x$ dan ∆ABF$∆ABF$ siku-siku di titik B$B$, maka

AF2⇔AF2⇔AF2⇔AF====AB2+BF2x2+x22x2x2‾√$\begin{array}{lll}A{F}^2& =& A{B}^2+B{F}^2\\ \iff A{F}^2& =& x^2+x^2\\ \iff A{F}^2& =& 2x^2\\ \iff AF& =& x\sqrt{2}\end{array}$

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa panjang diagonal bidang kubus adalah x2‾√$x\sqrt{2}$ jika panjang rusuk kubus adalah x$x$.

Contoh 1

Diketahui panjang rusuk kubus PQRS.TUVW$PQRS.TUVW$ adalah 5 cm. Hitung panjang ruas garisST$ST$.

Penyelesaian:

Pada gambar di atas, tampak bahwa ST$ST$ merupakan diagonal bidang PSWT$PSWT$.

Oleh karena panjang rusuk kubus PQRS.TUVW$PQRS.TUVW$ adalah x=5$x=5$ cm, maka panjang ruas garis ST$ST$ adalah x2‾√=52‾√$x\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ cm.

Materi di atas mudah dipahami bukan?

Balok

Sama halnya dengan kubus, balok juga mempunyai 12 diagonal bidang, hanya saja diagonal bidang pada balok berupa persegi panjang.

Nah, tahukah kalian bagaimana cara menentukan panjang diagonal bidang pada balok?

Yuk perhatikan gambar balok ABCD.EFGH$ABCD.EFGH$ berikut.

Pada gambar di atas, tampak bahwa ada tiga kelompok panjang diagonal bidang pada balok. Nah, untuk menentukan panjang ketiga diagonal bidang tersebut, kalian dapat menggunakan rumus Pythagoras.

Agar kalian lebih jelas tentang bagaimana cara menentukan panjang diagonal bidang pada balok, yuk kita cermati contoh soal berikut.

Contoh 2

Diketahui balok ABCD.EFGH$ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk AB$AB$, BC$BC$, dan CG$CG$ berturut-turut adalah 6 cm, 12 cm, dan 8 cm. Tentukan panjang ruas garis AF$AF$, AC$AC$, dan AH$AH$.

Penyelesaian:

Oleh karena ruas garis AF$AF$ terletak pada ∆ABF$∆ABF$ dengan titik siku adalah titik B$B$, maka

AF2⇔AF2⇔AF2⇔AF====AB2+BF262+8210010 cm$\begin{array}{lll}A{F}^2& =& A{B}^2+B{F}^2\\ \iff A{F}^2& =& 6^2+8^2\\ \iff A{F}^2& =& 100\\ \iff AF& =& 10cm\end{array}$

Oleh karena ruas garis AC$AC$ terletak pada ∆ABC$∆ABC$ dengan titik siku adalah titik B$B$, maka

AH2⇔AH2⇔AH2⇔AH====AD2+DH2122+82208413‾‾‾√ cm$\begin{array}{lll}A{H}^2& =& A{D}^2+D{H}^2\\ \iff A{H}^2& =& {12}^2+8^2\\ \iff A{H}^2& =& 208\\ \iff AH& =& 4\sqrt{13}cm\end{array}$

Oleh karena ruas garis AH$AH$ terletak pada ∆ADH$∆ADH$ dengan titik siku adalah titik D$D$, maka

AH2⇔AH2⇔AH2⇔AH====AD2+DH2122+82208413‾‾‾√$\begin{array}{lll}A{H}^2& =& A{D}^2+D{H}^2\\ \iff A{H}^2& =& {12}^2+8^2\\ \iff A{H}^2& =& 208\\ \iff AH& =& 4\sqrt{13}\end{array}$

Prisma

Perhatikan gambar prisma tegak segienam beraturan berikut.

Prisma tegak segienam ABCDEF.GHIJKL$ABCDEF.GHIJKL$ pada gambar di atas mempunyai delapan sisi/bidang, yaitu

• ABCDEF$ABCDEF$ → sisi alas
• GHIJKL$GHIJKL$ → sisi atas
• BCIH$BCIH$, FEKL$FEKL$, ABHG$ABHG$, AFLG$AFLG$, CDJI$CDJI$, dan DEKJ$DEKJ$ → sisi tegak

Nah, manakah yang dimaksud dengan diagonal bidang?

• Diagonal bidang pada bidang alas: 
  → AC = AE = BF = BD= CE = DF 
  → AD = BE = CF b.
• Diagonal bidang pada bidang atas: 
  → GI = GK = HL = HJ= IK = JL 
  → GJ = HK = IL
• Diagonal bidang pada bidang tegak: 
  → BI = HC =DI = CJ = DK = EJ = EL = FK = AL = FG = AH = BG

Contoh 3

Diketahui prisma tegak segienam beraturan ABCDEF.GHIJKL$ABCDEF.GHIJKL$ dengan panjang AD$AD$adalah 24 cm. Tentukan luas bidang alas ABCDEF$ABCDEF$.

Penyelesaian:

Oleh karena alas prisma berupa segienam beraturan, maka diagonal bidang alas berpotongan sama panjang.

Akibatnya, AO=OD=12$AO=OD=12$ cm.

Selanjutnya, karena bidang alas terdiri atas enam buah segitiga samasisi yang kongruen dengan titik pusat 60°, maka luas bidang alas ABCDEF$ABCDEF$ dapat ditentukan sebagai berikut:

L====6×LΔAOF6×12×AO×OF×sin60°6×12×12×12×123‾√2163‾√$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{lll}L& =& 6\times L_{\mathrm{\Delta }AOF}\\ & =& 6\times \frac{1}{2}\times AO\times OF\times \sin 60°\\ & =& 6\times \frac{1}{2}\times 12\times 12\times \frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & =& 216\sqrt{3}\end{array}$

Jadi, luas bidang alas prisma tegak segienam beraturan ABCDEF.GHIJKL$ABCDEF.GHIJKL$ adalah 2163‾√$216\sqrt{3}$ cm3.

Limas

Apakah kalian masih ingat dengan sifat dari limas segilima beraturan?

Pada gambar di atas, tampak bahwa limas segilima beraturan mempunyai lima diagonal bidang. Adapun diagonal bidang tersebut terletak pada bidang alas.

Seperti yang kalian pelajari pada topik sebelumnya, panjang kelima diagonal bidang adalah sama → AC=AD=BD=BE=CE$AC=AD=BD=BE=CE$.

Yuk kita cermati contoh berikut.

Contoh 4

Diketahui limas segilima beraturan T.ABCDE$T.ABCDE$ dengan panjang AB$AB$ adalah 4 cm. Tentukan panjang diagonal bidang BD$BD$.

Penyelesaian:

Oleh karena panjang diagonal bidang pada limas adalah sama panjang, maka AE=AB=4$AE=AB=4$ cm.

Oleh karena diagonal bidang pada alas berpotongan di satu titik sedemikian hingga terbentuk lima buah segitiga sama kaki dengan sudut pusat 72°, maka ∠BAE=180°−72°=108°$\angle BAE=180°-72°=108°$.

Selanjutnya, jika kita gunakan aturan kosinus, maka kita peroleh hubungan sebagai berikut:

BE2⇔BE2⇔BE2⇔BE====AE2+AB2−2×AE×AB×cos108°42+42−2×4×4×(−0,3090)16+16+9,8886,47$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{lll}B{E}^2& =& A{E}^2+A{B}^2-2\times AE\times AB\times \cos 108°\\ \iff B{E}^2& =& 4^2+4^2-2\times 4\times 4\times \left(-0,3090\right)\end{array}$

$\begin{array}{lll}\iff B{E}^2& =& 16+16+9,888\\ \iff BE& =& 6,47\end{array}$

Nah, karena BD=BE$BD=BE$, maka panjang diagonal bidang BD$BD$ adalah 6,47 cm.

Nah, sekarang kalian telah selesai mempelajari materi di atas.

Share this post