Peluang Kejadian-Kejadian Saling Bebas

Peluang Kejadian-Kejadian Saling Bebas - Misalkan kita mempunyai ruang sampel sebagai berikut:

Peluang Kejadian-Kejadian Saling Bebas

Ω={ω1,...,ωn}$$\Omega =\left\{{\omega }_1,\mathrm{...},{\omega }_n\right\}$$

di mana ω1,…,ωn adalah keseluruhan peluang hasil (kejadian saling bebas). Peluang terjadinya kejadian ωk, 1≤k≤n dinyatakan dengan notasi P(ωk). Peluang selalu mempunyai nilai antara 0 dan 1, dan jika peluang suatu kejadian adalah 0, maka kejadian tersebut merupakan kejadian yang tidak mungkin (kemustahilan), dan jika nilai peluang suatu kejadian adalah 1, maka disebut sebagai kejadian pasti (kepastian). Jadi, dapat dikatakan bahwa peluang suatu kejadian P adalah fungsi dari himpunan Ωhingga [0,1]. Peluang suatu kejadian P mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1) Nilai peluang ruang sampel adalah 1.

P(Ω)=1$$P(\Omega )=1$$

2) Untuk setiap kejadian A dalam ruang sampel, nilai peluang kejadian A selalu sama dengan atau lebih besar dari 0.

(∀A∴A⊂Ω)P(A)≥0$$\begin{array}{l}\left(\forall A\therefore A\subset \Omega \right)\\ P(A)\ge 0\end{array}$$

3) Jika A dan B adalah kejadian saling lepas (A dan B tidak mempunyai elemen bersama), maka peluang gabungan A dan B adalah sama dengan jumlah peluang masing-masingnya. Sifat ini dapat pula digunakan pada lebih dari 2 kejadian.

(∀A,B⊂Ω∴A∩B=∅)P(A∪B)=P(A)+P(B)$$\begin{array}{l}(\forall A,B\subset \Omega \therefore A\cap B=\varnothing )\\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)\end{array}$$

3’) Jika kejadian A dan B bukan kejadian saling lepas, maka peluang gabungan kejadian A dan B adalah:

(∀A,B⊂Ω)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)$$\begin{array}{l}(\forall A,B\subset \Omega )\\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\end{array}$$

4) Nilai peluang kejadian yang tidak mungkin
adalah 0.

P(∅)=0$$P(\varnothing )=0$$

5) Nilai peluang kejadian komplemen dari kejadian A adalah 1 dikurangi peluang kejadian A. Notasi A’ juga berarti bahwa A tidak terjadi.

(∀A∴A⊂Ω)P(A')=1−P(A)=P(Ω)−P(A)$$\begin{array}{l}\left(\forall A\therefore A\subset \Omega \right)\\ P(A\text{'})=1-P(A)=P(\Omega )-P(A)\end{array}$$

6) Jika kejadian A merupakan sebuah sub-kejadian dari kejadian B, maka peluang kejadian A lebih kecil atau sama dengan peluang kejadian B.

(∀A,B⊂Ω∴A⊂B)P(A)≤P(B)$$\begin{array}{l}(\forall A,B\subset \Omega \therefore A\subset B)\\ P(A)\le P(B)\end{array}$$

Contoh:

Ada 10 buah bola di dalam sebuah kotak – 3 bola merah dan 7 bola biru. Berapakah peluang diambilnya:

a) 1 bola biru dalam satu kali pengambilan?

b) 2 bola biru dalam dua kali pengambilan (tanpa mengembalikan bola ke kotak)?

c) 2 bola merah dan satu bola biru dalam 2 kali pengambilan (dengan mengembalikan bola ke kotak)?

Mari kita lihat:

Pertama, pengambilan bola merupakan suatu kejadian lepas, sehingga kita dapat menggunakan rumus-rumus di atas.

a) Kita mempunyai total 10 bola, 7 di antaranya berwarna biru. Maka, peluang diambilnya bola biru adalah 7 dari 10, dan kita tuliskan sebagai:

P(B)=710$$P(B)=\frac{7}{10}$$

b) Peluang diambilnya 1 bola biru, sebagaimana terlihat, adalah 7 dari 10. Jika kita mengambil 1 bola dan tidak memasukkannya kembali, maka dalam kotak tersisa 9 bola, di antaranya 6 bola biru. Jadi, dalam kasus ini, kita akan mengalikan peluangnya sehingga diperoleh:

P(BB)=710⋅69=715$$P(BB)=\frac{7}{10}\cdot \frac{6}{9}=\frac{7}{15}$$

a) Jika kita kembalikan setelah pengambilan, maka pada setiap pengambilan akan ada 10 bola di dalam kotak. Karena urutan bola tidak ditentukan, maka kita mempunya 3 kasus: MMB, MBM, dan BMM (Ket. M=Merah, B=Biru). Jika kita menjumlahkan peluang dari seluruh kejadian tersebut, akan kita peroleh jawaban pertanyaan di atas:

P(RRB)+P(RBR)+P(BRR)==3⋅3⋅710⋅10⋅10+3⋅7⋅310⋅10⋅10+7⋅3⋅310⋅10⋅10==3⋅3⋅3⋅3⋅71000=5671000

Share this post