Contoh Soal Integral Parsial

Contoh Soal Integral Parsial - Pada materi sebelumnya kalian telah mengenal salah satu teknik dalam integral yaitu teknik substitusi. Selain integral substitusi, terdapat suatu teknik pengintegralan lagi yang akan kita pelajari saat ini, yaitu integral parsial. Istilah parsial berarti bagian dari suatu kesatuan. Dengan demikian, integral parsial berarti penyelesaian masalah pengintegralan dengan menyelesaikan bagian-bagiannya terlebih dahulu.

Bayangkan ketika seseorang membuat sebuah ponsel. Tentunya proses pembuatan bagian-bagiannya dilakukan secara terpisah seperti pembuatan layar/ LCD, komponen, cover, dan sebagainya. Meskipun pembuatannya dilakukan secara terpisah, pembuatan bagian yang satu dengan yang lainnya tetap harus saling memperhatikan. Pada integral parsial juga demikian. Fungsi yang akan kita integralkan, dibagi menjadi dua bagian untuk memudahkan penyelesaiannya. 
Contoh:
Misalkan terdapat suatu fungsi f(x)=xcosx$f(x)=x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x$. Fungsi tersebut dapat kita pandang sebagai perkalian fungsi u(x)=x$u(x)=x$ dan v(x)=cosx$v(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x$.
Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah materi berikut ini dengan saksama.

Seperti pada teknik integral substitusi, integral parsial juga berhubungan dengan salah satu aturan turunan. Perhatikan aturan turunan untuk perkalian fungsi f(x)=u(x)v(x)$f(x)=u(x)v(x)$ berikut.

f′(x)=v(x)u′(x)+u(x)v′(x)$f^{\prime }(x)=v(x)u^{\prime }(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

atau dapat kita tuliskan sebagai

d(u.v)=v.du+u.dv$d(u.v)=v.du+u.dv$

Dengan demikian,

⇔u.dv∫u.dv=d(u.v)−v.du=∫(d(u.v)−v.du)=∫d(u.v)−∫v.du=u.v−∫v.du$\begin{array}{rrl}& u.dv& =d(u.v)-v.du\\ \iff & \int u.dv& =\int (d(u.v)-v.du)\\ & & =\int d(u.v)-\int v.du\\ & & =u.v-\int v.du\end{array}$

Secara khusus konsep ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Metode ini dapat digunakan melalui langkah-langkah sebagai berikut:

• pilih fungsi yang dimisalkan sebagai u$u$ dan dv$dv$;
• dari fungsi u$u$ tentukan du$du$, dan dari dv$dv$ tentukan v$v$ dengan v=∫dv$v=\int dv$;
• selesaikan pengintegralan ∫v.du$\int v.du$ ; dan
• substitusikan hasil yang diperoleh ke rumus awal, yaitu ∫u.dv=u.v−∫v.du$\int u.dv=u.v-\int v.du$.

Perhatikan bahwa bentuk fungsi yang dapat diselesaikan dengan integral parsial memiliki perbedaan dengan bentuk fungsi yang dapat diselesaikan dengan teknik substitusi. Namun ada juga beberapa fungsi yang dapat diselesaikan dengan menggabungkan kedua teknik ini sekaligus, seperti jika kita hendak mengintegralkanf(x)=(x+1)(x−3)5$f(x)=(x+1)(x-3{)}^5$.

Perbedaan antara fungsi yang dapat diselesaikan dengan integral substitusi dan integral parsial yaitu:

• Untuk teknik substitusi f(x)=f(g(x))⋅g′(x)$f(x)=f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$. Perkalian dua fungsi ini memiliki hubungan, yaitu g′(x)$g^{\prime }(x)$ merupakan turunan dari g(x)$g(x)$.
• Untuk integral parsial, f(x)=u⋅dv$f(x)=u\cdot dv$. Tidak ada hubungan yang mengikat antara u$u$ dan dv$dv$. Hanya saja kita perlu menetapkan fungsi u$u$ dan dv$dv$ seperti pada langkah di atas.

Perhatikan tips dalam menentukan u$u$ dan dv$dv$ pada integral parsial berikut ini.

Dengan perbedaan tersebut, terlihat bahwa penggunaan integral parsial lebih umum dari pada integral substitusi. Namun demikian, untuk fungsi yang memenuhi kriteria integral substitusi akan lebih mudah diselesaikan dengan integral substitusi.

SOAL 1

Hasil pengintegralan ∫xcos3xdx$\int x\cos 3xdx$ adalah....

SOAL 2

Hasil dari ∫(x−1)sinxdx$\int (x-1)\sin xdx$ adalah ….

SOAL 3

Nilai dari ∫π√02x3cosx2dx${\int }_0^{\sqrt{\pi }}2x^3\cos x^{2}dx$ adalah ….

SOAL 4

Diketahui bahwa ∫1010x(x−2)4dx=a−∫102(x−2)5dx${\int }_0^{1}10x(x-2{)}^{4}dx=a-{\int }_0^{1}2(x-2{)}^{5}dx$. Nilai a$a$ yang memenuhi adalah….

SOAL 5

Hasil dari ∫(x2−1)cos2xdx$\int (x^2-1)\cos 2xdx$ adalah ….

SOAL 6

Nilai dari ∫10t7(7−3t4)32dt${\int }_0^1\frac{t^7}{(7-3t^4{)}^{\frac{3}{2}}}dt$ adalah....

SOAL 7

Hasil dari pengintegralan ∫cosx.cos4xdx$\int \cos x.\cos 4xdx$adalah ….

SOAL 8

Hasil dari ∫π20sin2x.sin7xdx=ab${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 2x.\sin 7xdx=\frac{a}{b}$. Jika ab$\frac{a}{b}$adalah bentuk yang tidak dapat disederhanakan lagi, maka nilai dari a+b$a+b$ adalah….

SOAL 9

Hasil dari ∫x5x3+4−−−−−√dx$\int x^5\sqrt{x^3+4}dx$ adalah ….

SOAL 10

Hasil dari ∫π0x.sin3xdx${\int }_0^{\pi }x.{\sin }^{3}xdx$ adalah ….

Share this post