Konsep Jumlah Riemann - Pada waktu kalian SMP, kalian telah belajar bagaimana menghitung luas daerah bidang datar, seperti luas persegi, persegipanjang, belah ketupat, layang-layang, dan jajar genjang.

Konsep Jumlah Riemann

Nah, tahukah kalian bagaimana cara menghitung luas daerah bidang datar jika bidangnya tidak beraturan?

Ya, untuk menghitung luas daerah bidang datar tak beraturan, kalian perlu menggunakan konsep jumlah Riemann.

Yuk kita pelajari lebih lanjut konsep tersebut.

Konsep Jumlah Riemann

Untuk memudahkan kalian dalam memahami konsep jumlah Riemann, mari kita perhatikan ilustrasi berikut.

Misalkan diketahui fungsi y=f(x)$y=f(x)$ kontinu dalam interval a≤x≤b$a\le x\le b$. Nah, kita akan mencoba menghitung luas daerah D$D$ yang dibatasi oleh kurva y=f(x)$y=f(x)$, sumbu X$X$, garisx=a$x=a$, dan garis x=b$x=b$.

Pada sketsa di atas, tampak bahwa ada n$n$ persegipanjang dengan lebar sama, misalkan ∆x$∆x$.

Sebagai pendekatan untuk menentukan luas daerah D$D$, kita tentukan terlebih dahulu jumlah luas dari n$n$ buah persegipanjang dalam sketsa.

L≅f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+f(x3)Δx3+...+f(xn)Δxn$L\cong f\left(x_1\right)$

$\mathrm{\Delta }{x}_1+f\left(x_2\right)\mathrm{\Delta }{x}_2+f\left(x_3\right)\mathrm{\Delta }{x}_3+...+f\left(x_n\right)\mathrm{\Delta }{x}_n$

Persamaan di atas juga dapat dinyatakan dalam notasi sigma: L≅∑i=1nf(xi)Δxi$L\cong \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)\mathrm{\Delta }{x}_i$.

Selanjutnya, karena ujung-ujung interval adalah a$a$ dan b$b$, maka notasi sigma di atas dapat ditulis menjadi L≅∑x=ax=bf(x)Δx$L\cong \sum _{x=a}^{x=b}f\left(x\right)\mathrm{\Delta }x$.

Perlu kalian ketahui, bentuk ∑i=1nf(xi)Δxi$\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)\mathrm{\Delta }{x}_i$ inilah yang disebut sebagai jumlah Riemann.

Selanjutnya, untuk menentukan luas daerah D$D$, kita perlu mengambil nilai n$n$ yang cukup besar.

Nah, karena (n→∞)$(n\to \infty )$, maka Δx$\Delta x$ menjadi semakin kecil (Δx→0)$(\Delta x\to 0)$.

Dengan demikian, luas daerah D$D$ dapat ditentukan dengan rumus pendekatan berikut: L≅limn→∞∑x=ax=bf(x)Δx=∫abf(x)dx$L\cong \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{x=a}^{x=b}f\left(x\right)\mathrm{\Delta }x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Bentuk ∫abf(x)dx$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ selanjutnya disebut dengan integral tentu atau integral Riemann.

Apakah kalian sekarang sudah paham dengan definisi dari jumlah Riemann dan integral Riemann?

Yuk kita cermati beberapa contoh berikut agar kalian semakin paham.

Contoh 1

Hitunglah jumlah Riemann untuk fungsi f(x)=x2+1$f(x)=x^2+1$ pada interval [−1,2]$[-1,2]$, dimana interval tersebut terbagi menjadi enam bagian yang sama panjang dan titik xi⎯⎯⎯⎯=xi$\overline{x_i}=x_i$merupakan titik tengah dari bagian ke-i$i$.

Penyelesaian:

Berdasarkan informasi dalam soal, dapat kita buat sketsa sebagai berikut:

Oleh karena interval [−1,2]$[-1,2]$ dibagi menjadi enam bagian yang sama panjang, maka panjang setiap bagian adalah Δxi=2−(−1)6=0,5$\mathrm{\Delta }{x}_i=\frac{2-\left(-1\right)}{6}=0,5$ satuan.

Selanjutnya karena xi$x_i$ merupakan titik tengah dari bagian ke-i$i$, maka

• x1=−0,75$x_1=-0,75$ → f(x1)=1,5625$f(x_1)=1,5625$
• x2=−0,25$x_2=-0,25$ → f(x2)=1,0625$f(x_2)=1,0625$
• x3=0,25$x_3=0,25$ → f(x3)=1,0625$f(x_3)=1,0625$
• x4=0,75$x_4=0,75$ → f(x4)=1,5625$f(x_4)=1,5625$
• x5=1,25$x_5=1,25$ → f(x5)=2,5625$f(x_5)=2,5625$
• x6=1,75$x_6=1,75$ → f(x6)=4,0625$f(x_6)=4,0625$

Dengan demikian, jumlah Riemann dari fungsi f(x)$f(x)$ dalam soal adalah sebagai berikut:

∑i=16f(xi)Δxi===f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+f(x3)Δx3+f(x4)Δx4+f(x5)Δx5+f(x6)Δx61,5625×0,5+1,0625×0,5+1,0625×0,5+1,5625×0,5+2,5625×0,5+4,0625×0,55,9375satuanluas$\begin{array}{l}\underset{}{\overset{}{<br>}}\end{array}$

$\begin{array}{lll}\sum _{i=1}^{6}f\left(x_i\right)\mathrm{\Delta }{x}_i& =& \begin{array}{l}f\left(x_1\right)\mathrm{\Delta }{x}_1+f\left(x_2\right)\mathrm{\Delta }{x}_2+f\left(x_3\right)\mathrm{\Delta }{x}_3\\ +f\left(x_4\right)\mathrm{\Delta }{x}_4+f\left(x_5\right)\mathrm{\Delta }{x}_5+f\left(x_6\right)\mathrm{\Delta }{x}_6\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{lll}& =& \begin{array}{l}1,5625\times 0,5+1,0625\times 0,5+1,0625\times 0,5\\ +1,5625\times 0,5+2,5625\times 0,5+4,0625\times 0,5\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{lll}& =& 5,9375\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{s}\end{array}$

Contoh 2

Dengan menggunakan jumlah Riemann, hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis y=x+2$y=x+2$ dan sumbu X$X$, serta terletak pada interval [–1,4]$[–1,4]$.

Penyelesaian:

Permasalahan dalam soal dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Jika interval [−1,4]$[-1,4]$ kita bagi menjadi n$n$ interval yang sama panjang, maka panjang masing-masing interval adalah Δxi=Δx=4−(−1)n=5n$\mathrm{\Delta }{x}_i=\mathrm{\Delta }x=\frac{4-\left(-1\right)}{n}=\frac{5}{n}$.

Selanjutnya jika xi$x_i$ merupakan titik tengah dari bagian ke-i$i$, maka

• x0=−1$x_0=-1$
• x1=−1+∆x=−1+5n$x_1=-1+∆x=-1+\frac{5}{n}$
• x2=−1+2∆x=−1+2(5n)$x_2=-1+2∆x=-1+2(\frac{5}{n})$

☟

• xn=−1+n∆x=−1+n(5n)=4$x_n=-1+n∆x=-1+n(\frac{5}{n})=4$

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa xi=−1+i(5n)$x_i=-1+i(\frac{5}{n})$.

Akibatnya,

f(xi)===xi+2−1+i(5n)+21+i(5n)$\begin{array}{lll}f\left(x_i\right)& =& x_i+2\\ & =& -1+i\left(\frac{5}{n}\right)+2\\ & =& 1+i\left(\frac{5}{n}\right)\end{array}$

Dengan demikian, jumlah Riemann dari fungsi f(x)$f(x)$ adalah sebagai berikut:

∑i=1nf(xi⎯⎯⎯⎯)========∑i=1nf(xi)Δx∑i=1n[1+i(5n)](5n)∑i=1n[(5n)+i(25n2)]∑i=1n5n+∑i=1ni(25n2)5n∑i=1n1+25n2∑i=1ni5n(n)+25n2(1+2+3+...+n)5+25n2[n(n+1)2]5+252(1+1n)satuanluas$\begin{array}{l}\underset{}{\overset{}{<br>}}\end{array}$

$\begin{array}{lll}\sum _{i=1}^{n}f\left(\overline{x_i}\right)& =& \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)\mathrm{\Delta }x\\ & =& \sum _{i=1}^n\left[1+i\left(\frac{5}{n}\right)\right]\left(\frac{5}{n}\right)\\ & =& \sum _{i=1}^n\left[\left(\frac{5}{n}\right)+i\left(\frac{25}{n^2}\right)\right]\\ & =& \sum _{i=1}^n\frac{5}{n}+\sum _i^{}\end{array}$

$\begin{array}{l}\underset{n}{\overset{}{=1}}i\left(\frac{25}{n^2}\right)\\ & =& \frac{5}{n}\sum _{i=1}^{n}1+\frac{25}{n^2}\sum _{i=1}^{n}i\\ & =& \frac{5}{n}\left(n\right)+\frac{25}{n^2}\left(1+2+3+...+n\right)\\ & =& 5+\frac{25}{n^2}\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]\end{array}$

$\begin{array}{lll}& =& 5+\frac{25}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{s}\end{array}$

Perlu kalian ketahui, jumlah Rieman di atas akan mendekati luas daerah yang sebenarnya jika nilai n→∞$n\to \infty$.

L======limn→∞∑i=1nf(xi)Δxlimn→∞[5+252(1+1n)]5+252(1+0)5+2523521712satuanluas

Share this post