Perkalian Matriks

Perkalian Matriks -Mengalikan dua buah matriks tak semudah menjumlahkan maupun mengurangkan dua buah matriks. Untuk mengalikan dua buah matriks, kita harus mengalikan setiap elemen dari masing-masing baris pada matriks pertama dengan setiap elemen dari masing-masing kolom pada matriks kedua. Selanjutnya jumlahkan hasil perkalian tersebut seperti pada contoh di bawah ini.

Perkalian Matriks

[acbd][egfh]=[ae+bgce+dgaf+bhcf+dh]$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right]$

Pada penjumlahan dan pengurangan matriks, kedua matriks harus mempunyai dimensi yang sama.  Hal ini berbeda dengan perkalian matriks. Anda dapat mengalikan kedua matriks selama banyaknya  kolom  dari matriks pertama sama dengan banyaknya  baris dari matriks kedua. Cara yang mudah untuk mengingat dan memeriksa dengan cepat apakah suatu operasi perkalian mungkin dilakukan adalah dengan menulis dimensi dari kedua matriks. Misalkan matriks A berdimensi m x n, dan matriks B berdimensi n x p.

m x n      n x p

Karena kedua dimensi "tengah" adalah  n, maka kedua matriks dapat dikalikan. Dimensi dari hasil perkalian kedua matriks adalah  m x p (dua dimensi "luar").

Contoh 1

Periksalah apakah kedua matriks berikut ini dapat dikalikan ataukah tidak. Jika ya, maka tentukan hasilnya.

a = [1320−11]  b = ⎡⎣⎢⎢⎢−102⎤⎦⎥⎥⎥$\text{a = }\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]\text{ b = }\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right]$

Dimensi dari matriks A adalah 2 x 3. Dimensi dari matriks B adalah 3 x 1. Karena banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris dari matriks B, kedua matriks dapat dikalikan. Dengan demikian, matriks hasil perkaliannya mempunyai dimensi 2 x 1.

[1320−11]⎡⎣⎢⎢⎢−102⎤⎦⎥⎥⎥=[(1)(−1)+(2)(0)+(−1)(2)(3)(−1)+(0)(0)+(1)(2)]=[−3−1]$\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(1)(-1)+(2)(0)+(-1)(2)\\ (3)(-1)+(0)(0)+(1)(2)\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{c}-3\\ -1\end{array}\right]\end{array}$

Contoh 2

Perhatikan matriks berikut ini.

A =⎡⎣⎢⎢⎢123456⎤⎦⎥⎥⎥   B = [1001]Hitunglah AB. Apa yang dapat kalian simpulkan tentang hasil perkalian tersebut?AB=⎡⎣⎢⎢⎢123456⎤⎦⎥⎥⎥[1001]=⎡⎣⎢⎢⎢(1)(1)+(2)(0)(1)(0)+(2)(1)(3)(1)+(4)(0)(3)(0)+(4)(1)(5)(1)+(6)(0)(5)(0)+(6)(1)⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢123456⎤⎦⎥⎥⎥Jawabannya  adalah  sama dengan Matriks A!Ini karena  Matriks B, [1001], adalah matriks identitas untuk operasi perkalian.$\begin{array}{l}\text{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{A =}\left[\begin{array}{l}\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\\ \begin{array}{cc}3& 4\end{array}\\ \begin{array}{cc}5& 6\end{array}\end{array}\right]\text{ B = }\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\\ \text{Hitunglah AB}\text{. }\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Apa yang dapat kalian simpulkan tentang hasil perkalian tersebut?}\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{AB=}\left[\begin{array}{l}\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\\ \begin{array}{cc}3& 4\end{array}\\ \begin{array}{cc}5& 6\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\begin{array}{cc}(1)(1)+(2)(0)& (1)(0)+(2)(1)\end{array}\\ \begin{array}{cc}(3)(1)+(4)(0)& (3)(0)+(4)(1)\end{array}\\ \begin{array}{cc}(5)(1)+(6)(0)& (5)(0)+(6)(1)\end{array}\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left[\begin{array}{l}\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\\ \begin{array}{cc}3& 4\end{array}\\ \begin{array}{cc}5& 6\end{array}\end{array}\right]\\ \text{Jawabannya adalah sama dengan Matriks A!}\\ \text{Ini karena Matriks B, }\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\text{, }\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{adalah matriks identitas }\\ \text{untuk operasi perkalian}\text{.}\end{array}$

Matriks identitas selalu berupa matriks bujursangkar (mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama), dan ukuran/dimensinya bergantung pada jumlah kolom dari matriks yang lain. Pada matriks identitas, semua element yang terletak pada diagonal utama adalah 1, dan elemen-elemen lainnya adalah 0.

Contoh 3

Perhatikan Matriks A:[1320−11]$\text{Perhatikan Matriks A:}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$

Matriks seperti apakah yang harus kita kalikan dengan matriks A, agar hasilnya sama dengan matriks A? Dengan kata lain, tunjukkan matriks identitas dari matriks A!

Karena matriks A mempunyai 3 kolom, matriks identitas B haruslah berdimensi 3 x 3, dengan elemen diagonal utamanya adalah 1 dan elemen yang lain adalah 0, seperti berikut ini:

B=⎡⎣⎢⎢⎢100010001⎤⎦⎥⎥⎥$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Untuk meneliti kembali, hitunglah AB.

Invers suatu matriks adalah matriks tertentu yang mana jika kita mengalikan matriks itu dengan matriks yang berkaitan dengannya maka akan menghasilkan matriks identitas. Sifat ini dijelaskan oleh contoh berikut.

Contoh 4

Apakah matriks A dan B saling invers?

A=[−252−4] dan B=[22.511]Hitunglah ABAB =[−252−4][22.511]=[−4+510+(−10)−2+25+(−4)]AB = [1001]$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 5& -4\end{array}\right]\text{ dan }B=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 2.5& 1\end{array}\right]\\ \text{Hitunglah AB}\\ AB\text{}=\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 5& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 2.5& 1\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left[\begin{array}{cc}-4+5& -2+2\\ 10+(-10)& 5+(-4)\end{array}\right]\\ AB\text{ = }\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

Karena AB sama dengan matriks identitas dalam operasi perkalian, makamatriks A dan B saling invers.

Contoh 5

Apakah perkalian matriks bersifat komutatif? Untuk mengetahuinya, hitunglah AB dan BA.

Karena AB ≠ BA, maka perkalian matriks tidak bersifat komutatif.

Sifat

Meskipun perkalian matriks tidak bersifat komutatif, sifat berikut ini berlaku dalam operasi perkalian matriks. Diberikan matriks A, B, dan C, dengan dimensi tertentu berlaku sifat-sifat berikut ini.

Asosiatif:     A(BC) = (AB)C

Distributif:    A(B+C) = AB + AC

Share this post