Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks - Dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan maupun dikurangkan jika dan hanya jika matriks-matriks tersebut mempunyai dimensi (ukuran) yang sama. Selanjutnya, jika penjumlahan atau pengurangan matriks dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan setiap elemen yang berkorespondensi.

[abcdef]+[ghijkl]=[a+gb+hc+id+je+kf+l]


$\left[\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\\ \begin{array}{ccc}d& e& f\end{array}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}g& h& i\end{array}\\ \begin{array}{ccc}j& k& l\end{array}\end{array}\right]=$

$\left[\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}a+g& b+h& c+i\end{array}\\ \begin{array}{ccc}d+j& e+k& f+l\end{array}\end{array}\right]$

Jika dua buah matriks tidak mempunyai dimensi yang sama, maka dua matriks tersebut tidak dapat dijumlahkan maupun dikurangkan.

Contoh

Jika memungkinkan, jumlahkan kedua matriks di bawah ini, namun jika tidak memungkinkan, jelaskan alasannya!

(a)⎡⎣⎢⎢⎢2−31404⎤⎦⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢1320−1−5⎤⎦⎥⎥⎥  (b) ⎡⎣⎢⎢⎢2−31404⎤⎦⎥⎥⎥+[2−104−24]

$(\text{a})\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\begin{array}{c}4\\ 0\\ 4\end{array}\right]+$

$\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\begin{array}{c}0\\ -1\\ -5\end{array}\right]\text{ (b) }\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\begin{array}{c}4\\ 0\\ 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}2& -1& 0\end{array}\\ \begin{array}{ccc}4& -2& 4\end{array}\end{array}\right]$

Untuk contoh (a), kedua matriks mempunyai dimensi 3x2, sehingga operasi penjumlahan dapat dilakukan. Selanjutnya, dengan menjumlahkan setiap elemen yang berkorespondensi, diperoleh hasil sebagai berikut :

⎡⎣⎢⎢⎢2+1−3+31+24+00+(−1)4+(−5)⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢3034−1−1⎤⎦⎥⎥⎥$\left[\begin{array}{c}2+1\\ -3+3\\ 1+2\end{array}\begin{array}{c}4+0\\ 0+(-1)\\ 4+(-5)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right]$

Untuk contoh (b), dimensi dari matriks pertama adalah 3x2 dan dimensi dari matriks kedua adalah 2x3. Karena kedua matriks mempunyai dimensi yang berbeda, maka kedua matriks tersebut tidak dapat dijumlahkan.

Contoh

Operasi pengurangan sama dengan operasi penjumlahan, hanya saja tandanya berbeda. Dalam operasi pengurangan, kita harus berhati-hati dengan tanda negatif, karena disinilah biasanya kesalahan terjadi.

Hitunglah hasil dari :  ⎡⎣⎢⎢⎢2−31−404⎤⎦⎥⎥⎥−⎡⎣⎢⎢⎢122−5−1−5⎤⎦⎥⎥⎥Dengan mengurangkan elemen-elemen yang saling berkorespondensi, diperoleh hasil sebagai berikut :⎡⎣⎢⎢⎢2−1−3−21−2−4−(−5)0−(−1)4−(−5)⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢1−5−1119⎤⎦⎥⎥⎥

Hitunglah hasil dari : [2−31   −404]−[122     −5−1−5]Dengan mengurangkan elemen-elemen yang saling berkorespondensi, diperoleh hasil sebagai berikut :[2−1−3−21−2   −4−(−5)0−(−1)4−(−5)]=[1−5−1      119]

Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Misalkan matriks A, B, dan C mempunyai dimensi yang sama.

Sifat Komutatif : Seperti halnya operasi penjumlahan pada bilangan real, operasi penjumlahan matriks bersifat komutatif. Akan tetapi, operasi pengurangan matriks tidak bersifat komutatif. Dengan kata lain, A + B = B + A namun A – B ≠ B – A.

Sifat Asosiatif : Seperti halnya operasi penjumlahan pada bilangan real, operasi penjumlahan matriks juga bersifat asosiatif. Akan tetapi, operasi pengurangan matriks tidak bersifat asosiatif.  Dengan kata lain, A + (B + C) = (A + B) + C namun A – (B – C) ≠ (A – B) – C

Contoh 4

Tabel di bawah ini menunjukkan jumlah skateboards yang diproduksi oleh sebuah tim pekerja selama 1 minggu. Tim A mempunyai 8 orang pekerja dan Tim Bmempunyai 12 orang pekerja.

                                standard skateboard      premium skateboard

Tim A                                  50                                           40

Tim B                                  45                                           30

Secara keseluruhan berapakah selisih antara jumlah standard skateboards dan premium skateboards dari masing-masing tim?

Buatlah dua buah matriks dari setiap tim.

Tim A: [50     40]

Tim B: [45     30]

Data di atas menyatakan jumlah skateboards yang diproduksi oleh masing-masing tim dalam satu minggu. Dari pernyataan pada contoh di atas, diketahui bahwa tim A mempunyai 8 orang pekerja dan tim B mempunyai 12 orang perkerja. Selanjutnya, dengan mengalikan setiap matriks dengan skalar (jumlah pekerja), diperoleh jumlah skateboards yang dihasilkan oleh setiap tim dalam satu minggu.

Tim A: 8[50     40] = [400    320]

Tim B: 12[45    30] = [540    360]

Untuk mencari jumlah total dari setiap tipe skateboard, kita dapat menjumlahkan matriks-matriks tersebut.

[400   320] + [540   360] = [940   980]

Jadi, kedua tim memproduksi 940 standard skateboards dan 980 premium skateboards. Dengan kata lain, jumlah premium skateboards lebih banyak daripada jumlah standard skateboards, dengan selisih 40 buah.

Share this post