Teorema Fundamental Kalkulus II

Teorema Fundamental Kalkulus II - Seperti yang telah kalian ketahui, teorema fundamental kalkulus ada dua. Nah, pada topik kali ini kita akan belajar tentang teorema fundamental kalkulus II.

Teorema Fundamental Kalkulus II

Tentu kalian masih ingat dengan teorema fundamental kalkulus I bukan?

Nah, teorema fundamental kalkulus II adalah sebagai berikut:

Perlu kalian ketahui, bentuk F(b)−F(a)$F\left(b\right)-F\left(a\right)$ selanjutnya dinotasikan dalam bentuk [F(x)]ba${\left[F\left(x\right)\right]}_a^b$.

Dengan demikian, kita peroleh bentuk persamaan sebagai berikut: ∫abf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Tahukah kalian asal mula teorema tersebut?

Yuk kita cermati pembuktian berikut.

Jika dimisalkan g(x)=∫axf(t)dt$g\left(x\right)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt$, maka berdasarkan teorema fundamental kalkulus I, g(x)$g(x)$ adalah anti turunan dari f(x)$f(x)$.

Selanjutnya, karena diketahui bahwa fungsi F$F$ adalah anti turunan dari fungsi f$f$, maka F(x)=g(x)+C=∫axf(t)dt+C$F\left(x\right)=g\left(x\right)+C=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt+C$, dimana C$C$ adalah konstanta.

Berdasarkan persamaan di atas, kita ketahui bahwa

F(a)===∫aaf(t)dt+C0+CC$\begin{array}{lll}F\left(a\right)& =& \underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(t\right)dt+C\\ & =& 0+C\\ & =& C\end{array}$

Dengan demikian,

F(b)F(b)⇔F(b)−F(a)===∫abf(t)dt+C∫abf(t)dt+F(a)∫abf(t)dt$\begin{array}{lll}F\left(b\right)& =& \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt+C\\ F\left(b\right)& =& \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt+F\left(a\right)\end{array}$

$\begin{array}{lll}\iff F\left(b\right)-F\left(a\right)& =& \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt\end{array}$

Nah, dari uraian tersebut terbukti bahwa ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Agar kalian semakin paham dengan materi di atas, yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1

Tentukan nilai dari ∫14x√dx$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\sqrt{x}dx$.

Penyelesaian:

Oleh karena ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$, maka

∫14x√dx======∫14x12dx[23x32]4123[(4)32−(1)32]23[8−1]23(7)143$\begin{array}{l}\underset{}{\overset{}{<br>}}\end{array}$

$\begin{array}{lll}\underset{1}{\overset{4}{\int }}\sqrt{x}dx& =& \underset{1}{\overset{4}{\int }}{x}^{\frac{1}{2}}dx\\ & =& {\left[\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^4\\ & =& \frac{2}{3}\left[{\left(4\right)}^{\frac{3}{2}}-{\left(1\right)}^{\frac{3}{2}}\right]\\ & =& \frac{2}{3}\left[8-1\right]\\ & =& \frac{2}{3}\left(7\right)\\ & =& \frac{14}{3}\end{array}$

Contoh 2

Tentukan nilai eksak dari ∫π4π2sin(2x−π2)dx$\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)dx$.

Penyelesaian:

Oleh karena ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$, maka

∫π4π2sin(2x−π2)dx======[−12cos(2x−π2)]π2π4−12[cos(2(π2)−π2)−cos(2(π4)−π2)]−12[cos(π−π2)−cos(π2−π2)]−12[cosπ2−cos0]−12[0−1]12$\begin{array}{l}\underset{}{\overset{}{<br>}}\end{array}$

$\begin{array}{lll}\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)dx& =& {\left[-\frac{1}{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)\right]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & =& -\frac{1}{2}\left[\cos \left(2\left(\frac{\pi }{2}\right)-\frac{\pi }{2}\right)-\cos \left(2\left(\frac{\pi }{4}\right)-\frac{\pi }{2}\right)\right]\end{array}$

$\begin{array}{lll}& =& -\frac{1}{2}\left[\cos \left(\pi -\frac{\pi }{2}\right)-\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}\right)\right]\\ & =& -\frac{1}{2}\left[\cos \frac{\pi }{2}-\cos 0\right]\\ & =& -\frac{1}{2}\left[0-1\right]\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$

Nah, karena kalian telah selesai mempelajari topik ini, yuk uji pemahaman kalian dengan mengerjakan latihan soal dalam topik ini.

Share this post