Contoh Soal Rumus Kosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Contoh Soal Rumus Kosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut - Sudut istimewa lainnya merupakan kelipatan bulat dari sudut-sudut di atas, sedangkan sudut tak istimewa dapat dipahami sebagai sudut-sudut selain sudut istimewa misalkan 15⁰, 41⁰, 88⁰, dan lain-lain.

Konsep yang Mendasari Kosinus Jumlah dan Selisih Sudut

Definisi dasar fungsi trigonometri dan konsep jarak dua titik perlu kamu ingat kembali untuk memahami pembuktian rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut

Definisi Dasar Fungsi Trigonometri

Perhatikan segitiga siku-siku ABC berikut.

Pada segitiga siku-siku ABC berlaku definisi dasar fungsi trigonometri antara lain:

sinα=BCAC→BC=ACsinα$\sin \alpha =\frac{BC}{AC}\to BC=AC\sin \alpha$
cosα=ABAC→AB=ACcosα$\cos \alpha =\frac{AB}{AC}\to AB=AC\cos \alpha$
tanα=BCAB→BC=ABtanα$\tan \alpha =\frac{BC}{AB}\to BC=AB\tan \alpha$

sin2α+cos2α=1${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Jarak Dua Titik

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas terdapat dua titik yaitu P1(x1, y1) dan P2(x2, y2), sehingga jarak antara kedua titik ini dinyatakan sebagai:

d=|P1P2|=(x1−x2)2+(y1−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$d=\left|P_1{P}_2\right|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}$

Pembuktian Rumus Kosinus Jumlah dan Selisih Sudut

Untuk tiap sudut α dan β baik itu dalam satuan derajat maupun radian berlaku rumus kosinus jumlah dan selisih kedua sudut tersebut yaitu:

cos (α - β) = cos α . cos α + sin α . sin β

cos (α + β) = cos α . cos α - sin α . sin β

Mari simak langkah-langkah pembuktian rumusnya pada uraian ini.

Diketahui sebuah lingkaran satuan (lingkaran dengan jari-jari sepanjang 1 satuan) seperti gambar berikut.

Kita mulai dengan mengambil dua titik berbeda (A dan B) pada lingkaran satuan di atas. Misalkan jari-jari OA dan OB membentuk sudut masing-masing sebesar β dan α terhadap sumbu x positif. Dengan menggunakan aturan trigonometri pada segitiga siku-siku didapat koordinat dari titik A dan B yaitu:

A(ax,ay)=A(cosβ,sinβ)$A(a_x,a_y)=A(\cos \beta ,\sin \beta )$
B(bx,by)=B(cosα,sinα)$B(b_x,b_y)=B(\cos \alpha ,\sin \alpha )$

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, jarak titik A dan B dihitung sebagai berikut.

d=|AB|=(ax−bx)2+(ay−by)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$d=\left|AB\right|=\sqrt{{\left(a_x-b_x\right)}^2+{\left(a_y-b_y\right)}^2}$
⇔d2=|AB|2=(ax−bx)2+(ay−by)2$\iff d^2={\left|AB\right|}^2={\left(a_x-b_x\right)}^2+{\left(a_y-b_y\right)}^2$

Dengan mensubstitusikan koordinat titik A dan B ke persamaan d2 , sehingga diperoleh:

⇔d2=|AB|2=(cosβ−cosα)2+(sinβ−sinα)2$\iff d^2={\left|AB\right|}^2=(\cos \beta -\cos \alpha {)}^2+(\sin \beta -\sin \alpha {)}^2$

Dengan menguraikan semua suku kuadrat di ruas kanan diperoleh:

⇔d2=|AB|2=cos2β−2cosαcosβ+cos2α+sin2β−2sinαsinβ+sin2α$\iff d^2={\left|AB\right|}^2={\cos }^2\beta -2\cos \alpha \cos \beta +{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\beta -2\sin \alpha \sin \beta +{\sin }^2\alpha$

Ingat bahwa, untuk sebarang sudut x, berlaku sin2 x + cos2 x = 1, sehingga kita dapat menyusun ulang suku-suku di ruas kanan sebagai berikut.

⇔d2=|AB|2=[sin2α+cos2α]+[sin2β+cos2β]−2cosαcosβ−2sinαsinβ$\iff d^2={\left|AB\right|}^2=[{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ]+[{\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta ]-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta$
⇔d2=|AB|2=1+1−2cosαcosβ−2sinαsinβ$\iff d^2={\left|AB\right|}^2=1+1-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta$

Bentuk terakhir diruas kanan dapat disederhanakan menjadi:

⇔d2=|AB|2=2−2cosαcosβ−2sinαsinβ$\iff d^2={\left|AB\right|}^2=2-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta$

Titik A, O, dan B dihubungkan sehingga terbentuk ∆AOB.

Selanjutnya, putar (rotasikan) ∆AOB (segitiga dalam lingkaran satuan di atas) searah jarum jam dengan pusat O (0, 0) sebesar β sehingga diperoleh segitiga kongruen A’OB’ yang berhimpit dengan sumbu x positif seperti gambar di bawah ini.

Oleh karena ∆AOB diputar dengan pusat O (0, 0) searah jarum jam sebesar β, maka setiap sudut yang terbentuk ditambah dengan (-β).

SOAL 1

Pada segitiga siku-siku ABC berikut ini, nilai dari cos θ adalah ….

SOAL 2

Pernyataan yang bersesuaian dengan cos (A + B) adalah ….

SOAL 3

Nilai dari cosπ.cosπ2+sinπ.sinπ2$\cos \pi .\cos \frac{\pi }{2}+\sin \pi .\sin \frac{\pi }{2}$ adalah ….

SOAL 4

Perhatikan gambar berikut. Pernyataan yang benar tentang kosinus sudut β adalah ....

SOAL 5

Bentuk yang setara dengan cos (x + x) adalah ….

SOAL 6

Nilai dari cos 135⁰ = ....

SOAL 7

Bentuk sederhana dari cos(π2–α)$\cos (\frac{\pi }{2}–\alpha )$ adalah ….

SOAL 8

Jika α = 60⁰ dan cos β = 35$\frac{3}{5}$ dengan β adalah sudut lancip, maka nilai dari cos (α - β) = ....

SOAL 9

Jika sin x = 45$\frac{4}{5}$ dan cos y = 1213$\frac{12}{13}$ dengan x dan y adalah sudut lancip, maka nilai cos (x + y) = ....

SOAL 10

Pernyataan yang benar mengenai bentuk cos α . cos α - sin α . sin β adalah ….

Share this post